Страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

285. Упростите выражение:

a) $\left(1-\frac{3x^2}{1-x^2}\right):\left(\frac{x}{x+1}+1\right)=\frac{1-2x}{1-x}$

$$\begin{gathered} 1) 1-\frac{3x^2}{1-x^2}=\frac{1-x^2-3x^2}{1-x^2}=\frac{1-4x^2}{1-x^2} \\ 2) \frac{x}{x+1}+1=\frac{x+x+1}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1} \\ 3) \frac{1-4x^2}{1-x^2}:\frac{2x+1}{x+1}=\frac{(1-2x)\left(\bcancel{1+2x}\right)}{(1-x)\left(\bcancel{1+x}\right)}·\frac{\bcancel{x+1}}{\bcancel{2x+1}}= \\ =\frac{1-2x}{1-x} \end{gathered}$$

б) $\left(\frac{a+b}{b}-\frac{a}{a+b}\right):\left(\frac{a+b}{a}-\frac{b}{a+b}\right)=\frac{a}{b}$

$$\begin{gathered} 1) \frac{a+b}{b}-\frac{a}{a+b}=\frac{{(a+b)}^2-ab}{b(a+b)}= \\ =\frac{a^2+2a+b^2-ab}{b(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)} \\ 2) \frac{a+b}{a}-\frac{b}{a+b}=\frac{{(a+b)}^2-ab}{a(a+b)}= \\ =\frac{a^2+2ab+b^2-ab}{a(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)} \\ 3) \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)}:\frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)}· \\ ·\frac{a(a+b)}{a^2+ab+b^2}=\frac{a}{b} \end{gathered}$$

в) $\frac{3a^2-a+3}{a^3-1}-\frac{a-1}{a^2+a+1}+\frac{2}{1-a}=$

$$\begin{gathered} =\frac{3a^2-a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{{(a-1)}^2}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{2}{a-1}= \\ =\frac{3a^2-a+3-(a^2-2a+1)-2a^2-2a-2}{(a-1)(a^2+a+1)}= \\ =\frac{3a^2-a+3-a^2+2a-1-2a^2-2a-2}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{-a}{a^3-1} \end{gathered}$$

г) $\left(\frac{2b}{1-b}-b\right):\frac{3b+3}{b-1}=\frac{2b-b(1-b)}{1-b}·\frac{b-1}{3(b+1)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{2b-b+b^2}{-(b-1)}·\frac{b-1}{3(b+1)}=\frac{b+b^2}{-3(b+1)}= \\ =-\frac{b(1+b)}{3(b+1)}=-\frac{b}{3} \end{gathered}$$

д) $\left(a-x+\frac{x^2}{a+x}\right)·\frac{a-x}{a}=\frac{(a-x)(a+x)+x^2}{a+x}·\frac{a-x}{a}=$

$$\begin{gathered} =\frac{a^2-x^2+x^2}{a+x}·\frac{a-x}{a}=\frac{a^2(a-x)}{(a+x)a}=\frac{a(a-x)}{a+x}= \\ =\frac{a^2-ax}{a+x} \end{gathered}$$

а)

Сначала упростим выражения в каждой из скобок, приводя их к общему знаменателю.

1) $1 - \frac{3x^2}{1-x^2} = \frac{1(1-x^2)}{1-x^2} - \frac{3x^2}{1-x^2} = \frac{1-x^2-3x^2}{1-x^2} = \frac{1-4x^2}{1-x^2}$.

2) $\frac{x}{x+1} + 1 = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x+x+1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$.

Теперь выполним деление полученных выражений. Для этого заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{1-4x^2}{1-x^2} : \frac{2x+1}{x+1} = \frac{(1-2x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)} \cdot \frac{x+1}{2x+1}$.

Сократим общие множители $(1+2x)$ и $(x+1)$.

$\frac{(1-2x)\cancel{(1+2x)}}{(1-x)\cancel{(1+x)}} \cdot \frac{\cancel{x+1}}{\cancel{2x+1}} = \frac{1-2x}{1-x}$.

Ответ: $\frac{1-2x}{1-x}$.

б)

Упростим выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.

1) $\frac{a+b}{b} - \frac{a}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{b(a+b)} - \frac{a \cdot b}{b(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - ab}{b(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2-ab}{b(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)}$.

2) $\frac{a+b}{a} - \frac{b}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a(a+b)} - \frac{b \cdot a}{a(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - ab}{a(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2-ab}{a(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)}$.

Теперь выполним деление. Заменим его умножением на обратную дробь.

$\frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)} : \frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+ab+b^2}$.

Сократим общие множители $(a^2+ab+b^2)$ и $(a+b)$.

$\frac{\cancel{a^2+ab+b^2}}{b\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{a\cancel{(a+b)}}{\cancel{a^2+ab+b^2}} = \frac{a}{b}$.

Ответ: $\frac{a}{b}$.

в)

Для упрощения выражения приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители. Используем формулу разности кубов $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$. Также заметим, что $1-a = -(a-1)$.

$\frac{3a^2-a+3}{a^3-1} - \frac{a-1}{a^2+a+1} + \frac{2}{1-a} = \frac{3a^2-a+3}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{2}{a-1}$.

Общий знаменатель равен $(a-1)(a^2+a+1)$. Приведем к нему все дроби.

$\frac{3a^2-a+3}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{(a-1)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{2(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$.

Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель.

$\frac{(3a^2-a+3) - (a-1)^2 - 2(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{3a^2-a+3 - (a^2-2a+1) - (2a^2+2a+2)}{(a-1)(a^2+a+1)}$.

$\frac{3a^2-a+3 - a^2+2a-1 - 2a^2-2a-2}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{(3a^2-a^2-2a^2) + (-a+2a-2a) + (3-1-2)}{a^3-1} = \frac{0 - a + 0}{a^3-1} = \frac{-a}{a^3-1}$.

Ответ: $\frac{-a}{a^3-1}$.

г)

Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $1-b$.

$\frac{2b}{1-b} - b = \frac{2b - b(1-b)}{1-b} = \frac{2b-b+b^2}{1-b} = \frac{b+b^2}{1-b} = \frac{b(1+b)}{1-b}$.

Теперь выполним деление. Заметим, что $1-b = -(b-1)$ и $3b+3=3(b+1)$.

$\frac{b(1+b)}{1-b} : \frac{3b+3}{b-1} = \frac{b(1+b)}{-(b-1)} \cdot \frac{b-1}{3(b+1)}$.

Сократим общие множители $(b+1)$ и $(b-1)$.

$\frac{b\cancel{(1+b)}}{-\cancel{(b-1)}} \cdot \frac{\cancel{b-1}}{3\cancel{(b+1)}} = \frac{b}{-3} = -\frac{b}{3}$.

Ответ: $-\frac{b}{3}$.

д)

Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $a+x$.

$a - x + \frac{x^2}{a+x} = \frac{(a-x)(a+x)}{a+x} + \frac{x^2}{a+x}$.

Используя формулу разности квадратов $(a-x)(a+x)=a^2-x^2$, сложим дроби.

$\frac{a^2-x^2+x^2}{a+x} = \frac{a^2}{a+x}$.

Теперь выполним умножение.

$\frac{a^2}{a+x} \cdot \frac{a-x}{a}$.

Сократим на $a$.

$\frac{a^{\cancel{2}}}{a+x} \cdot \frac{a-x}{\cancel{a}} = \frac{a(a-x)}{a+x}$.

Ответ: $\frac{a(a-x)}{a+x}$.

286. Найдите значение выражения:

а) |28x – 8| при x = –2,5; 0; 4; 5; 9,5;

б) |6 – 12x| при x = –3; –1; 0; 1; 4.

в) |x| + |x – 2| при x = 0,5; 1; 1,5; 2;

г) |y – 3| + |y + 3| при y = –6; –5; 5; 6.

a) |28x-8|

при x=-2,5 $\left|28·(-2,5)-8\right|=\left|-70-8\right|=\left|-78\right|=78$

при x=0 $\left|28·0-8\right|=\left|-8\right|=8$

при x=4 $\left|28·4-8\right|=\left|104\right|=104$

при x=5 $\left|28·5-8\right|=\left|132\right|=132$

при x=9,5 $\left|28·9,5-8\right|=\left|266-8\right|=\left|258\right|=258$

б) |6-12x|

при x=-3 $\left|6-12·(-3)\right|=\left|6+36\right|=\left|42\right|=42$

при x=-1 $\left|6-12·(-1)\right|=\left|6+12\right|=\left|18\right|=18$

при x=0 $\left|6-12·0\right|=\left|6\right|=6$

при x=1 $\left|6-12·1\right|=\left|6-12\right|=\left|-6\right|=6$

при x=4 $\left|6-12·4\right|=\left|6-48\right|=\left|-42\right|=42$

в) |x|+|x-2|

при x=0,5 $\left|0,5\right|+\left|0,5-2\right|=0,5+\left|-1,5\right|=0,5+1,5=2$

при x=1 $\left|1\right|+\left|1-2\right|=1+\left|-1\right|=1+1=2$

при x=1,5 $\left|1,5\right|+\left|1,5-2\right|=1,5+\left|-0,5\right|=1,5+0,5=2$

при x=2 $\left|2\right|+\left|2-2\right|=2+0=2$

г) |y-3|+|y+3|

при y=-6 $\left|-6-3\right|+\left|-6+3\right|=\left|-9\right|+\left|-3\right|=9+3=12$

при y=-5 $\left|-5-3\right|+\left|-5+3\right|=\left|-8\right|+\left|-2\right|=8+2=10$

при y=5 $\left|5-3\right|+\left|5+3\right|=\left|2\right|+\left|8\right|=2+8=10$

при y=6 $\left|6-3\right|+\left|6+3\right|=\left|3\right|+\left|9\right|=3+9=12$

а) Найдем значение выражения $|28x - 8|$ для каждого значения $x$:

При $x = -2,5$: $|28 \cdot (-2,5) - 8| = |-70 - 8| = |-78| = 78$.

При $x = 0$: $|28 \cdot 0 - 8| = |0 - 8| = |-8| = 8$.

При $x = 4$: $|28 \cdot 4 - 8| = |112 - 8| = |104| = 104$.

При $x = 5$: $|28 \cdot 5 - 8| = |140 - 8| = |132| = 132$.

При $x = 9,5$: $|28 \cdot 9,5 - 8| = |266 - 8| = |258| = 258$.

Ответ: 78; 8; 104; 132; 258.

б) Найдем значение выражения $|6 - 12x|$ для каждого значения $x$:

При $x = -3$: $|6 - 12 \cdot (-3)| = |6 - (-36)| = |6 + 36| = |42| = 42$.

При $x = -1$: $|6 - 12 \cdot (-1)| = |6 - (-12)| = |6 + 12| = |18| = 18$.

При $x = 0$: $|6 - 12 \cdot 0| = |6 - 0| = |6| = 6$.

При $x = 1$: $|6 - 12 \cdot 1| = |6 - 12| = |-6| = 6$.

При $x = 4$: $|6 - 12 \cdot 4| = |6 - 48| = |-42| = 42$.

Ответ: 42; 18; 6; 6; 42.

в) Найдем значение выражения $|x| + |x-2|$ для каждого значения $x$:

При $x = 0,5$: $|0,5| + |0,5 - 2| = 0,5 + |-1,5| = 0,5 + 1,5 = 2$.

При $x = 1$: $|1| + |1 - 2| = 1 + |-1| = 1 + 1 = 2$.

При $x = 1,5$: $|1,5| + |1,5 - 2| = 1,5 + |-0,5| = 1,5 + 0,5 = 2$.

При $x = 2$: $|2| + |2 - 2| = 2 + |0| = 2 + 0 = 2$.

Ответ: 2; 2; 2; 2.

г) Найдем значение выражения $|y - 3| + |y + 3|$ для каждого значения $y$:

При $y = -6$: $|-6 - 3| + |-6 + 3| = |-9| + |-3| = 9 + 3 = 12$.

При $y = -5$: $|-5 - 3| + |-5 + 3| = |-8| + |-2| = 8 + 2 = 10$.

При $y = 5$: $|5 - 3| + |5 + 3| = |2| + |8| = 2 + 8 = 10$.

При $y = 6$: $|6 - 3| + |6 + 3| = |3| + |9| = 3 + 9 = 12$.

Ответ: 12; 10; 10; 12.

287. Известно, что график функции y =kx проходит через точку A(4; –0,5). Найдите k и постройте этот график.

$$\begin{gathered} y=\frac{k}{x}, A(4;-0,5) \\ -0,5=\frac{k}{4}; k=-0,5·4=-2 \\ y=-\frac{2}{x} \end{gathered}$$

x	0,5	1	2	-0,5	-1	-2	4	-4
y	-4	-2	-1	4	2	1	-0,5	0,5

Найдите k

По условию задачи, график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку A с координатами $(4; -0,5)$. Это означает, что при подстановке координат этой точки в уравнение функции мы получим верное равенство.

Подставим $x = 4$ и $y = -0,5$ в уравнение функции:

$-0,5 = \frac{k}{4}$

Чтобы найти $k$, умножим обе части уравнения на 4:

$k = -0,5 \cdot 4$

$k = -2$

Таким образом, мы нашли значение коэффициента $k$. Искомая функция имеет вид: $y = -\frac{2}{x}$.

Ответ: $k = -2$.

Постройте этот график

Теперь нам нужно построить график функции $y = -\frac{2}{x}$. Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола. Поскольку коэффициент $k = -2$ отрицательный, ветви гиперболы будут расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений:

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавными линиями. Также отметим заданную точку A(4; -0,5).

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -2/x$ с ветвями во II и IV координатных четвертях, проходящая, в частности, через точки (-2; 1), (-1; 2), (1; -2), (2; -1) и заданную точку A(4; -0,5). График представлен на рисунке выше.

288. При каких значениях a и b графики функций y = x + b и y = ax – 2b пересекаются в точке (3; 1)?

$$\begin{gathered} y=x+b; y=ax-2b; (3:1) \\ \left\{\begin{array}{l}1=3+b\\ 1=a·3-2b\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ 3a-2·(-2)=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ 3a+4=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}b=-2\\ 3a=-3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ a=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: при a=-1; b=-2

Для того чтобы графики функций $y = x + b$ и $y = ax - 2b$ пересекались в точке $(3; 1)$, координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям. Это значит, что при подстановке $x = 3$ и $y = 1$ в каждое уравнение мы получим верные равенства.

Подставим координаты точки $(3; 1)$ в оба уравнения, чтобы составить систему уравнений с переменными $a$ и $b$.

Для первого уравнения $y = x + b$:
$1 = 3 + b$

Для второго уравнения $y = ax - 2b$:
$1 = a \cdot 3 - 2b$

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} 1 = 3 + b \\ 1 = 3a - 2b \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение относительно $b$:
$b = 1 - 3$
$b = -2$

Теперь подставим найденное значение $b = -2$ во второе уравнение системы, чтобы найти $a$:
$1 = 3a - 2(-2)$
$1 = 3a + 4$

Выразим $3a$:
$3a = 1 - 4$
$3a = -3$

И найдем $a$:
$a = \frac{-3}{3}$
$a = -1$

Таким образом, графики данных функций пересекаются в точке $(3; 1)$ при значениях $a = -1$ и $b = -2$.

Ответ: $a = -1, b = -2$.