Страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

320. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение:

a) $\sqrt{2x}; 2x\ge 0; x\ge 0$

б) $\sqrt{-x}; -x\ge 0; x\le 0$

а)

Выражение с квадратным корнем $\sqrt{A}$ имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение $A$ неотрицательно, то есть $A \ge 0$.

В данном случае подкоренное выражение равно $2x$. Следовательно, для того чтобы выражение $\sqrt{2x}$ имело смысл, должно выполняться неравенство:

$2x \ge 0$

Чтобы решить это неравенство относительно $x$, разделим обе его части на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$x \ge \frac{0}{2}$

$x \ge 0$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые больше или равны нулю.

Ответ: $x \ge 0$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, выражение $\sqrt{-x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $-x$ неотрицательно.

Запишем соответствующее неравенство:

$-x \ge 0$

Чтобы найти значения $x$, умножим обе части неравенства на -1. При умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный (знак $\ge$ меняется на $\le$):

$x \le 0 \cdot (-1)$

$x \le 0$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые меньше или равны нулю.

Ответ: $x \le 0$.

321. Найдите квадрат числа:

${\left(\sqrt{25}\right)}^2=5^2=25$

${\left(\sqrt{81}\right)}^2=9^2=81$

${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$

${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$

${\left(-\sqrt{4}\right)}^2={(-2)}^2=4$

${\left(\sqrt{5}\right)}^2=5$

${\left(-\sqrt{6}\right)}^2=6$

${\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^2=\frac{1}{2}$

${\left(\sqrt{1,3}\right)}^2=1,3$

Чтобы найти квадрат числа, необходимо возвести это число во вторую степень. Для любого неотрицательного числа $a$ справедливо тождество $(\sqrt{a})^2 = a$, что следует из определения арифметического квадратного корня. Если же число отрицательное, вида $-\sqrt{a}$, то его квадрат вычисляется следующим образом: $(-\sqrt{a})^2 = (-1)^2 \cdot (\sqrt{a})^2 = 1 \cdot a = a$. Таким образом, квадрат числа $\sqrt{a}$ и квадрат числа $-\sqrt{a}$ оба равны $a$.

$\sqrt{25}$

Чтобы найти квадрат числа $\sqrt{25}$, возведем его во вторую степень: $(\sqrt{25})^2$.

Согласно определению квадратного корня, $(\sqrt{25})^2 = 25$.

Для проверки можно сначала вычислить значение корня, а затем возвести в квадрат: $\sqrt{25} = 5$, и $5^2 = 25$.

Ответ: 25

$\sqrt{81}$

Найдем квадрат числа $\sqrt{81}$:

$(\sqrt{81})^2 = 81$.

Проверка: $\sqrt{81} = 9$, и $9^2 = 81$.

Ответ: 81

$\sqrt{2}$

Найдем квадрат числа $\sqrt{2}$:

$(\sqrt{2})^2 = 2$.

Ответ: 2

$\sqrt{3}$

Найдем квадрат числа $\sqrt{3}$:

$(\sqrt{3})^2 = 3$.

Ответ: 3

$-\sqrt{4}$

Найдем квадрат числа $-\sqrt{4}$. Квадрат отрицательного числа равен квадрату соответствующего положительного числа.

$(-\sqrt{4})^2 = (\sqrt{4})^2 = 4$.

Проверка: $-\sqrt{4} = -2$, и $(-2)^2 = 4$.

Ответ: 4

$\sqrt{5}$

Найдем квадрат числа $\sqrt{5}$:

$(\sqrt{5})^2 = 5$.

Ответ: 5

$-\sqrt{6}$

Найдем квадрат числа $-\sqrt{6}$:

$(-\sqrt{6})^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$.

Ответ: 6

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Найдем квадрат числа $\sqrt{\frac{1}{2}}$:

$(\sqrt{\frac{1}{2}})^2 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

$\sqrt{1,3}$

Найдем квадрат числа $\sqrt{1,3}$:

$(\sqrt{1,3})^2 = 1,3$.

Ответ: 1,3

322. Найдите значение выражения:

a) ${\left(\sqrt{7}\right)}^2=7$

б) ${\left(-\sqrt{26}\right)}^2=26$

в) $-2\sqrt{14}·\sqrt{14}=-2{\left(\sqrt{14}\right)}^2=-2·14=-28$

г) ${\left(3\sqrt{5}\right)}^2=9·5=45$

д) $0,5{\left(-\sqrt{8}\right)}^2=0,5·8=4$

е) ${\left(-2\sqrt{15}\right)}^2=4·15=60$

ж) ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$

з) ${\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\right)}^2=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5$

а) По определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt{a})^2 = a$. В данном случае $a = 7$. Следовательно, $(\sqrt{7})^2 = 7$.
Ответ: 7

б) Квадрат любого числа (кроме нуля) является положительным числом. Используя свойство $(-a)^2 = a^2$, получаем: $(-\sqrt{26})^2 = (\sqrt{26})^2$. По определению квадратного корня, $(\sqrt{26})^2 = 26$.
Ответ: 26

в) Произведение квадратных корней можно записать как квадрат корня: $\sqrt{14} \cdot \sqrt{14} = (\sqrt{14})^2 = 14$. Затем умножаем полученное значение на коэффициент $-2$: $-2 \cdot 14 = -28$.
Ответ: -28

г) Для того чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель. Используем свойство $(ab)^2 = a^2b^2$. Получаем: $(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.
Ответ: 45

д) Сначала выполним возведение в квадрат: $(-\sqrt{8})^2 = (\sqrt{8})^2 = 8$. Затем умножим результат на $0,5$: $0,5 \cdot 8 = 4$.
Ответ: 4

е) Используем свойство $(ab)^2 = a^2b^2$. Возводим в квадрат каждый множитель в скобках: $(-2\sqrt{15})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 15 = 60$.
Ответ: 60

ж) Для того чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель. Используем свойство $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$. Получаем: $(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

з) Используем свойство $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$. Возводим числитель и знаменатель в квадрат: $(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}})^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{(\sqrt{6})^2} = \frac{3}{6}$. Сокращаем полученную дробь: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

323. Вычислите:

a) $0,49+2{\left(\sqrt{0,4}\right)}^2=0,49+2·0,4=0,49+0,8=1,29$

б) ${\left(3\sqrt{11}\right)}^2-\sqrt{6400}=9·11-80=99-80=19$

в) ${\left(2\sqrt{6}\right)}^2+{\left(-3\sqrt{2}\right)}^2=4·6+9·2=24+18=42$

г) $$\begin{gathered} -0,1{\left(\sqrt{120}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\sqrt{20}\right)}^2=-0,1·120-\frac{1}{4}·20= \\ =-12-5=-17 \end{gathered}$$

а) $0,49 + 2(\sqrt{0,4})^2$

Для решения этого примера воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня, которое гласит, что $(\sqrt{a})^2 = a$ для любого неотрицательного числа $a$.

В данном случае $a = 0,4$, поэтому $(\sqrt{0,4})^2 = 0,4$.

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:

$0,49 + 2 \cdot (\sqrt{0,4})^2 = 0,49 + 2 \cdot 0,4$

Выполним умножение:

$2 \cdot 0,4 = 0,8$

Теперь выполним сложение:

$0,49 + 0,8 = 1,29$

Ответ: 1,29.

б) $(3\sqrt{11})^2 - \sqrt{6400}$

Разобьем решение на две части. Сначала вычислим значение первого члена, затем второго, и после этого найдем их разность.

1. Вычислим $(3\sqrt{11})^2$. Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(3\sqrt{11})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{11})^2 = 9 \cdot 11 = 99$.

2. Вычислим $\sqrt{6400}$. Мы знаем, что $80^2 = 6400$, следовательно:

$\sqrt{6400} = 80$.

3. Теперь вычтем из первого результата второй:

$99 - 80 = 19$.

Ответ: 19.

в) $(2\sqrt{6})^2 + (-3\sqrt{2})^2$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

1. Для первого слагаемого $(2\sqrt{6})^2$:

$(2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.

2. Для второго слагаемого $(-3\sqrt{2})^2$. Квадрат отрицательного числа является положительным числом:

$(-3\sqrt{2})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

3. Сложим полученные значения:

$24 + 18 = 42$.

Ответ: 42.

г) $-0,1(\sqrt{120})^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{20})^2$

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности.

1. Вычислим первый член $-0,1(\sqrt{120})^2$:

$-0,1 \cdot (\sqrt{120})^2 = -0,1 \cdot 120 = -12$.

2. Вычислим второй член $(\frac{1}{2}\sqrt{20})^2$:

$(\frac{1}{2}\sqrt{20})^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot (\sqrt{20})^2 = \frac{1}{4} \cdot 20 = \frac{20}{4} = 5$.

3. Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение и выполним вычитание:

$-12 - 5 = -17$.

Ответ: -17.

324. Вычислите:

a) $$\begin{gathered} {\left(2-\sqrt{5}\right)}^2+4\sqrt{5}=4-4\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2+4\sqrt{5}= \\ =4+5=9 \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} {\left(5+\sqrt{3}\right)}^2-10\sqrt{3}=25+10\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2- \\ -10\sqrt{3}=25+3=28 \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} {(2-\sqrt{5})}^2+{(2+\sqrt{5})}^2=4-4\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2+ \\ +4+4\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2=8+5+5=18 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} {\left(5+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(5-\sqrt{3}\right)}^2=25+10\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2+ \\ +25-10\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=50+3+3=56 \end{gathered}$$

а) $(2-\sqrt{5})^2+4\sqrt{5}$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В данном случае $a=2$ и $b=\sqrt{5}$.

Раскроем скобки в выражении:

$(2-\sqrt{5})^2+4\sqrt{5} = (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) + 4\sqrt{5}$

Выполним вычисления в скобках:

$(4 - 4\sqrt{5} + 5) + 4\sqrt{5} = 9 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $\sqrt{5}$ взаимно уничтожаются:

$9 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 9$

Ответ: 9

б) $(5+\sqrt{3})^2-10\sqrt{3}$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. В данном случае $a=5$ и $b=\sqrt{3}$.

Раскроем скобки в выражении:

$(5+\sqrt{3})^2-10\sqrt{3} = (5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - 10\sqrt{3}$

Выполним вычисления в скобках:

$(25 + 10\sqrt{3} + 3) - 10\sqrt{3} = 28 + 10\sqrt{3} - 10\sqrt{3}$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются:

$28 + 10\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = 28$

Ответ: 28

в) $(2-\sqrt{5})^2+(2+\sqrt{5})^2$

Для решения этого примера раскроем каждую скобку, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы.

$(2-\sqrt{5})^2+(2+\sqrt{5})^2 = (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) + (2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2)$

Выполним вычисления:

$(4 - 4\sqrt{5} + 5) + (4 + 4\sqrt{5} + 5) = 9 - 4\sqrt{5} + 9 + 4\sqrt{5}$

Сложим подобные члены. Иррациональные части $-4\sqrt{5}$ и $+4\sqrt{5}$ взаимно уничтожаются:

$9 + 9 = 18$

Альтернативный способ — использовать тождество $(a-b)^2+(a+b)^2 = 2(a^2+b^2)$. Для $a=2$ и $b=\sqrt{5}$ получаем:

$2 \cdot (2^2 + (\sqrt{5})^2) = 2 \cdot (4+5) = 2 \cdot 9 = 18$

Ответ: 18

г) $(5+\sqrt{3})^2+(5-\sqrt{3})^2$

Как и в предыдущем примере, раскроем каждую скобку, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности.

$(5+\sqrt{3})^2+(5-\sqrt{3})^2 = (5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) + (5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2)$

Выполним вычисления:

$(25 + 10\sqrt{3} + 3) + (25 - 10\sqrt{3} + 3) = 28 + 10\sqrt{3} + 28 - 10\sqrt{3}$

Сложим подобные члены. Иррациональные части $+10\sqrt{3}$ и $-10\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются:

$28 + 28 = 56$

Альтернативный способ — использовать тождество $(a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$. Для $a=5$ и $b=\sqrt{3}$ получаем:

$2 \cdot (5^2 + (\sqrt{3})^2) = 2 \cdot (25+3) = 2 \cdot 28 = 56$

Ответ: 56

325. Найдите значение выражения:

a) $2\sqrt{6}·\left(-\sqrt{6}\right)=-2·{\left(\sqrt{6}\right)}^2=-2·6=-12$

б) $-{\left(3\sqrt{5}\right)}^2=-9·5=-45$

в) $\sqrt{1,44}-2{\left(\sqrt{0,6}\right)}^2=1,2-2·0,6=1,2-1,2=0$

г) ${\left(0,1\sqrt{70}\right)}^2+\sqrt{1,69}=0,01·70+1,3=0,7+1,3=2$

а) Чтобы найти значение выражения $2\sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6})$, мы перемножаем множители. Произведение $\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}$ равно $(\sqrt{6})^2$, что по определению квадратного корня равно 6.
$2\sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) = -2 \cdot (\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}) = -2 \cdot 6 = -12$.
Ответ: $-12$

б) Чтобы найти значение выражения $-(3\sqrt{5})^2$, нужно возвести в квадрат произведение в скобках, используя свойство $(ab)^2 = a^2b^2$.
$-(3\sqrt{5})^2 = -(3^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = -(9 \cdot 5) = -45$.
Ответ: $-45$

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{1,44} - 2(\sqrt{0,6})^2$, вычислим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $\sqrt{1,44}$. Так как $1,2^2 = 1,44$, то $\sqrt{1,44} = 1,2$.
Второе слагаемое: $2(\sqrt{0,6})^2$. По свойству квадратного корня $(\sqrt{a})^2 = a$, получаем $2 \cdot 0,6 = 1,2$.
Теперь выполним вычитание:
$1,2 - 1,2 = 0$.
Ответ: $0$

г) Чтобы найти значение выражения $(0,1\sqrt{70})^2 + \sqrt{1,69}$, вычислим каждое слагаемое.
Первое слагаемое: $(0,1\sqrt{70})^2$. Используем свойство $(ab)^2 = a^2b^2$.
$(0,1)^2 \cdot (\sqrt{70})^2 = 0,01 \cdot 70 = 0,7$.
Второе слагаемое: $\sqrt{1,69}$. Так как $1,3^2 = 1,69$, то $\sqrt{1,69} = 1,3$.
Теперь выполним сложение:
$0,7 + 1,3 = 2$.
Ответ: $2$

326. Найдите значение выражения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{x-1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}=\frac{x-1}{x}:\frac{x+1}{x}= \\ =\frac{x-1}{x}·\frac{x}{x+1}=\frac{x-1}{x+1} \end{gathered}$$

при x=-0,5

$\frac{-0,5-1}{-0,5+1}=\frac{-1,5}{0,5}=-\frac{15}{5}=-3$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}=\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}}}=\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{x}{x+1}}}= \\ =\frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1+x}{x+1}}}=\frac{x+1}{2x+1} \end{gathered}$$

при x=-0,4

$\frac{-0,4+1}{2·(-0,4)+1}=\frac{0,6}{-0,8+1}=\frac{0,6}{0,2}=\frac{6}{2}=3$

а)

Дано выражение $\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ при $x = -0,5$.
Есть два способа решения: подставить значение сразу или сначала упростить выражение. Упрощение часто бывает более удобным.
1. Упростим числитель и знаменатель дроби, приведя их к общему знаменателю $x$:
Числитель: $1 - \frac{1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$
Знаменатель: $1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$
2. Подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:
$\frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}}$
3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (при условии, что $x \ne 0$):
$\frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x+1}$
4. Теперь подставим значение $x = -0,5$ в упрощенное выражение:
$\frac{-0,5 - 1}{-0,5 + 1} = \frac{-1,5}{0,5} = -3$
Ответ: -3

б)

Дано выражение $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$ при $x = -0,4$.
Упростим данную многоэтажную дробь, начиная с самой нижней части.
1. Преобразуем выражение в знаменателе $1+\frac{1}{x}$:
$1+\frac{1}{x} = \frac{x}{x}+\frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$
2. Подставим это в дробь более высокого уровня:
$1+\frac{1}{\frac{x+1}{x}} = 1 + \frac{x}{x+1}$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x+1}{x+1} + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1+x}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$
3. Теперь все исходное выражение выглядит так:
$\frac{1}{\frac{2x+1}{x+1}} = \frac{x+1}{2x+1}$
4. Подставим значение $x = -0,4$ в полученное упрощенное выражение:
$\frac{-0,4+1}{2 \cdot (-0,4)+1} = \frac{0,6}{-0,8+1} = \frac{0,6}{0,2} = 3$
Ответ: 3

327. Найдите значение выражения:

a) при x=4

$\frac{x-\left|x-1\right|}{x+2}=\frac{4-\left|4-1\right|}{4+2}=\frac{4-\left|3\right|}{6}=\frac{4-3}{6}=\frac{1}{6}$

при x=38

$\frac{38-\left|38-1\right|}{38+2}=\frac{38-\left|37\right|}{40}=\frac{38-37}{40}=\frac{1}{40}$

при x=-42

$$\begin{gathered} \frac{-42-\left|-42-1\right|}{-42+2}=\frac{-42-\left|-43\right|}{-40}=\frac{-42-43}{-40}= \\ =\frac{-85}{-40}=\frac{85}{40}=\frac{17}{8}=2\frac{1}{8} \end{gathered}$$

б) при x=2

$$\begin{gathered} \frac{2\left|3-x\right|-1}{4}=\frac{2\left|3-2\right|-1}{4}=\frac{2·\left|1\right|-1}{4}= \\ =\frac{2·1-1}{4}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

при x=11

$$\begin{gathered} \frac{2\left|3-x\right|-1}{4}=\frac{2\left|3-11\right|-1}{4}=\frac{2·\left|-8\right|-1}{4}= \\ =\frac{2·8-1}{4}=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4} \end{gathered}$$

при x=-6

$$\begin{gathered} \frac{2\left|3-x\right|-1}{4}=\frac{2\left|3-(-6)\right|-1}{4}=\frac{2·\left|9\right|-1}{4}= \\ =\frac{2·9-1}{4}=\frac{17}{4}=4\frac{1}{4} \end{gathered}$$

а) Вычислим значение выражения $ \frac{x - |x - 1|}{x + 2} $ для каждого из заданных значений $x$.

При $x = 4$:
Подставляем $x = 4$ в выражение:
$ \frac{4 - |4 - 1|}{4 + 2} = \frac{4 - |3|}{6} $
Так как модуль положительного числа равен самому числу, $|3| = 3$.
$ \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6} $
Ответ: $\frac{1}{6}$.

При $x = 38$:
Подставляем $x = 38$ в выражение:
$ \frac{38 - |38 - 1|}{38 + 2} = \frac{38 - |37|}{40} $
Так как $|37| = 37$:
$ \frac{38 - 37}{40} = \frac{1}{40} $
Ответ: $\frac{1}{40}$.

При $x = -42$:
Подставляем $x = -42$ в выражение:
$ \frac{-42 - |-42 - 1|}{-42 + 2} = \frac{-42 - |-43|}{-40} $
Так как модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, $|-43| = 43$.
$ \frac{-42 - 43}{-40} = \frac{-85}{-40} = \frac{85}{40} $
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{85 \div 5}{40 \div 5} = \frac{17}{8} $
Ответ: $\frac{17}{8}$.

б) Вычислим значение выражения $ \frac{2|3 - x| - 1}{4} $ для каждого из заданных значений $x$.

При $x = 2$:
Подставляем $x = 2$ в выражение:
$ \frac{2|3 - 2| - 1}{4} = \frac{2|1| - 1}{4} $
Так как $|1| = 1$:
$ \frac{2 \cdot 1 - 1}{4} = \frac{2 - 1}{4} = \frac{1}{4} $
Ответ: $\frac{1}{4}$.

При $x = 11$:
Подставляем $x = 11$ в выражение:
$ \frac{2|3 - 11| - 1}{4} = \frac{2|-8| - 1}{4} $
Так как $|-8| = 8$:
$ \frac{2 \cdot 8 - 1}{4} = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4} $
Ответ: $\frac{15}{4}$.

При $x = -6$:
Подставляем $x = -6$ в выражение:
$ \frac{2|3 - (-6)| - 1}{4} = \frac{2|3 + 6| - 1}{4} = \frac{2|9| - 1}{4} $
Так как $|9| = 9$:
$ \frac{2 \cdot 9 - 1}{4} = \frac{18 - 1}{4} = \frac{17}{4} $
Ответ: $\frac{17}{4}$.