Номер 326, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Уравнение х^2 = а. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 326, страница 77.

326. Найдите значение выражения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{x-1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}=\frac{x-1}{x}:\frac{x+1}{x}= \\ =\frac{x-1}{x}·\frac{x}{x+1}=\frac{x-1}{x+1} \end{gathered}$$

при x=-0,5

$\frac{-0,5-1}{-0,5+1}=\frac{-1,5}{0,5}=-\frac{15}{5}=-3$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}=\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}}}=\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{x}{x+1}}}= \\ =\frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1+x}{x+1}}}=\frac{x+1}{2x+1} \end{gathered}$$

при x=-0,4

$\frac{-0,4+1}{2·(-0,4)+1}=\frac{0,6}{-0,8+1}=\frac{0,6}{0,2}=\frac{6}{2}=3$

а)

Дано выражение $\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ при $x = -0,5$.
Есть два способа решения: подставить значение сразу или сначала упростить выражение. Упрощение часто бывает более удобным.
1. Упростим числитель и знаменатель дроби, приведя их к общему знаменателю $x$:
Числитель: $1 - \frac{1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$
Знаменатель: $1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$
2. Подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:
$\frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}}$
3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (при условии, что $x \ne 0$):
$\frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x+1}$
4. Теперь подставим значение $x = -0,5$ в упрощенное выражение:
$\frac{-0,5 - 1}{-0,5 + 1} = \frac{-1,5}{0,5} = -3$
Ответ: -3

б)

Дано выражение $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$ при $x = -0,4$.
Упростим данную многоэтажную дробь, начиная с самой нижней части.
1. Преобразуем выражение в знаменателе $1+\frac{1}{x}$:
$1+\frac{1}{x} = \frac{x}{x}+\frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$
2. Подставим это в дробь более высокого уровня:
$1+\frac{1}{\frac{x+1}{x}} = 1 + \frac{x}{x+1}$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x+1}{x+1} + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1+x}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$
3. Теперь все исходное выражение выглядит так:
$\frac{1}{\frac{2x+1}{x+1}} = \frac{x+1}{2x+1}$
4. Подставим значение $x = -0,4$ в полученное упрощенное выражение:
$\frac{-0,4+1}{2 \cdot (-0,4)+1} = \frac{0,6}{-0,8+1} = \frac{0,6}{0,2} = 3$
Ответ: 3