Номер 324, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Уравнение х^2 = а. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 324, страница 77.

324. Вычислите:

a) $$\begin{gathered} {\left(2-\sqrt{5}\right)}^2+4\sqrt{5}=4-4\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2+4\sqrt{5}= \\ =4+5=9 \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} {\left(5+\sqrt{3}\right)}^2-10\sqrt{3}=25+10\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2- \\ -10\sqrt{3}=25+3=28 \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} {(2-\sqrt{5})}^2+{(2+\sqrt{5})}^2=4-4\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2+ \\ +4+4\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2=8+5+5=18 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} {\left(5+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(5-\sqrt{3}\right)}^2=25+10\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2+ \\ +25-10\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=50+3+3=56 \end{gathered}$$

а) $(2-\sqrt{5})^2+4\sqrt{5}$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В данном случае $a=2$ и $b=\sqrt{5}$.

Раскроем скобки в выражении:

$(2-\sqrt{5})^2+4\sqrt{5} = (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) + 4\sqrt{5}$

Выполним вычисления в скобках:

$(4 - 4\sqrt{5} + 5) + 4\sqrt{5} = 9 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $\sqrt{5}$ взаимно уничтожаются:

$9 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 9$

Ответ: 9

б) $(5+\sqrt{3})^2-10\sqrt{3}$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. В данном случае $a=5$ и $b=\sqrt{3}$.

Раскроем скобки в выражении:

$(5+\sqrt{3})^2-10\sqrt{3} = (5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - 10\sqrt{3}$

Выполним вычисления в скобках:

$(25 + 10\sqrt{3} + 3) - 10\sqrt{3} = 28 + 10\sqrt{3} - 10\sqrt{3}$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются:

$28 + 10\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = 28$

Ответ: 28

в) $(2-\sqrt{5})^2+(2+\sqrt{5})^2$

Для решения этого примера раскроем каждую скобку, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы.

$(2-\sqrt{5})^2+(2+\sqrt{5})^2 = (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) + (2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2)$

Выполним вычисления:

$(4 - 4\sqrt{5} + 5) + (4 + 4\sqrt{5} + 5) = 9 - 4\sqrt{5} + 9 + 4\sqrt{5}$

Сложим подобные члены. Иррациональные части $-4\sqrt{5}$ и $+4\sqrt{5}$ взаимно уничтожаются:

$9 + 9 = 18$

Альтернативный способ — использовать тождество $(a-b)^2+(a+b)^2 = 2(a^2+b^2)$. Для $a=2$ и $b=\sqrt{5}$ получаем:

$2 \cdot (2^2 + (\sqrt{5})^2) = 2 \cdot (4+5) = 2 \cdot 9 = 18$

Ответ: 18

г) $(5+\sqrt{3})^2+(5-\sqrt{3})^2$

Как и в предыдущем примере, раскроем каждую скобку, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности.

$(5+\sqrt{3})^2+(5-\sqrt{3})^2 = (5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) + (5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2)$

Выполним вычисления:

$(25 + 10\sqrt{3} + 3) + (25 - 10\sqrt{3} + 3) = 28 + 10\sqrt{3} + 28 - 10\sqrt{3}$

Сложим подобные члены. Иррациональные части $+10\sqrt{3}$ и $-10\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются:

$28 + 28 = 56$

Альтернативный способ — использовать тождество $(a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$. Для $a=5$ и $b=\sqrt{3}$ получаем:

$2 \cdot (5^2 + (\sqrt{3})^2) = 2 \cdot (25+3) = 2 \cdot 28 = 56$

Ответ: 56