Номер 330, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Нахождение приближённых значений квадратного корня. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 330, страница 79.

330. Найдите цифры разрядов единиц, десятых, сотых в десятичной записи иррациональных чисел 3, 5, 6.

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} 1^2=1<3; 2^2=4>3; 1<\sqrt{3}<2; \sqrt{3}=1,... \\ 1,7^2=2,89<3; 1,8^2=3,24>3; 1,7<\sqrt{3}<1,8; \\ \sqrt{3}=1,7... \\ 1,{71}^2=2,9241; 1,{72}^2=2,9584; \\ 1,{73}^2=2,9929; 1,{74}^2=3,0276>3 \\ 1,73<\sqrt{3}<1,74 \\ \sqrt{3}\approx 1,73 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 2^2=4<5; 3^2=9>5; 2<\sqrt{5}<3; \sqrt{5}=2,... \\ 2,2^2=4,84<5; 2,3^2=5,29>5; 2,2<\sqrt{5}<2,3; \\ \sqrt{5}=2,2... \\ 2,{21}^2=4,8841; 2,{22}^2=4,9284; \\ 2,{23}^2=4,9729; 2,{24}^2=5,0176>5 \\ 2,23<\sqrt{5}<2,24 \\ \sqrt{5}\approx 2,23 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} 2^2=4<6; 3^2=9>6; 2<\sqrt{6}<3; \sqrt{6}=2,... \\ 2,4^2=5,76<6; 2,5^2=6,25>6; 2,4<\sqrt{6}<2,5; \\ \sqrt{6}=2,4... \\ 2,{41}^2=5,8081; 2,{42}^2=5,8564; 2,{43}^2=5,9049; \\ 2,{44}^2=5,9536; 2,{45}^2=6,0025>6 \\ 2,44<\sqrt{6}<2,45 \\ \sqrt{6}\approx 2,44 \end{gathered}$$

Для решения задачи найдем десятичное представление каждого иррационального числа с точностью до двух знаков после запятой. Мы будем делать это методом последовательной оценки, находя цифру в каждом требуемом разряде (единиц, десятых, сотых) путем подбора и возведения чисел в квадрат.

Для числа $\sqrt{3}$

1. Нахождение цифры разряда единиц.

Найдем два последовательных целых числа, между которыми находится $\sqrt{3}$. Для этого рассмотрим квадраты целых чисел, близких к 3:

$1^2 = 1$

$2^2 = 4$

Поскольку $1 < 3 < 4$, то и $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, что равносильно $1 < \sqrt{3} < 2$.

Это означает, что целая часть числа $\sqrt{3}$ равна 1. Следовательно, цифра в разряде единиц — 1.

2. Нахождение цифры разряда десятых.

Теперь будем искать цифру в разряде десятых, возводя в квадрат числа вида $1,x$. Нам нужно найти такое $x$, чтобы $(1,x)^2 \le 3 < (1,x+0,1)^2$.

$1,7^2 = 2,89$

$1,8^2 = 3,24$

Так как $2,89 < 3 < 3,24$, то $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$. Значит, цифра в разряде десятых — 7.

3. Нахождение цифры разряда сотых.

Аналогично, ищем цифру в разряде сотых, возводя в квадрат числа вида $1,7x$.

$1,73^2 = 2,9929$

$1,74^2 = 3,0276$

Так как $2,9929 < 3 < 3,0276$, то $1,73 < \sqrt{3} < 1,74$. Значит, цифра в разряде сотых — 3.

Ответ: для числа $\sqrt{3}$ цифра разряда единиц — 1, цифра разряда десятых — 7, цифра разряда сотых — 3.

Для числа $\sqrt{5}$

1. Нахождение цифры разряда единиц.

Найдем два последовательных целых числа, между которыми находится $\sqrt{5}$. Рассмотрим квадраты целых чисел:

$2^2 = 4$

$3^2 = 9$

Поскольку $4 < 5 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, что равносильно $2 < \sqrt{5} < 3$.

Следовательно, цифра в разряде единиц — 2.

2. Нахождение цифры разряда десятых.

Ищем цифру в разряде десятых, возводя в квадрат числа вида $2,x$.

$2,2^2 = 4,84$

$2,3^2 = 5,29$

Так как $4,84 < 5 < 5,29$, то $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$. Значит, цифра в разряде десятых — 2.

3. Нахождение цифры разряда сотых.

Ищем цифру в разряде сотых, возводя в квадрат числа вида $2,2x$.

$2,23^2 = 4,9729$

$2,24^2 = 5,0176$

Так как $4,9729 < 5 < 5,0176$, то $2,23 < \sqrt{5} < 2,24$. Значит, цифра в разряде сотых — 3.

Ответ: для числа $\sqrt{5}$ цифра разряда единиц — 2, цифра разряда десятых — 2, цифра разряда сотых — 3.

Для числа $\sqrt{6}$

1. Нахождение цифры разряда единиц.

Найдем два последовательных целых числа, между которыми находится $\sqrt{6}$. Рассмотрим квадраты целых чисел:

$2^2 = 4$

$3^2 = 9$

Поскольку $4 < 6 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$, что равносильно $2 < \sqrt{6} < 3$.

Следовательно, цифра в разряде единиц — 2.

2. Нахождение цифры разряда десятых.

Ищем цифру в разряде десятых, возводя в квадрат числа вида $2,x$.

$2,4^2 = 5,76$

$2,5^2 = 6,25$

Так как $5,76 < 6 < 6,25$, то $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$. Значит, цифра в разряде десятых — 4.

3. Нахождение цифры разряда сотых.

Ищем цифру в разряде сотых, возводя в квадрат числа вида $2,4x$.

$2,44^2 = 5,9536$

$2,45^2 = 6,0025$

Так как $5,9536 < 6 < 6,0025$, то $2,44 < \sqrt{6} < 2,45$. Значит, цифра в разряде сотых — 4.

Ответ: для числа $\sqrt{6}$ цифра разряда единиц — 2, цифра разряда десятых — 4, цифра разряда сотых — 4.