Страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

329. Подберите два последовательных целых числа, между которыми заключено число:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}{5}^2=25<27; 6^2=36>27; 25<27<36 \\ \sqrt{25}<\sqrt{27}<\sqrt{36}; \\ 5<\sqrt{27}<6 \end{gathered}$$

Ответ: 5 и 6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{6}^2=36<40; 7^2=49>40; 36<40<49 \\ \sqrt{36}<\sqrt{40}<\sqrt{49}; \\ 6<\sqrt{40}<7 \end{gathered}$$

Ответ: 6 и 7

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{10}^2=100<120; {11}^2=121>120; \\ 100<120<121 \\ \sqrt{100}<\sqrt{120}<\sqrt{121}; \\ 10<\sqrt{120}<11 \end{gathered}$$

Ответ: 10 и 11

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{3}^2=9<9,2; 4^2=16>9,2; 9<9,2<16 \\ \sqrt{9}<\sqrt{9,2}<\sqrt{16}; \\ 3<\sqrt{9,2}<4 \end{gathered}$$

Ответ: 3 и 4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}{0}^2=0<0,4; 1^2=1>0,4; 0<0,4<1 \\ \sqrt{0}<\sqrt{0,4}<\sqrt{1}; \\ 0<\sqrt{0,4}<1 \end{gathered}$$

Ответ: 0 и 1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}{3}^2=9<15; 4^2=16>15; 9<15<16 \\ \sqrt{9}<\sqrt{15}<\sqrt{16}; \\ 3<\sqrt{15}<4 \end{gathered}$$

Ответ: 3 и 4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}{12}^2=144<167; {13}^2=169>167; \\ 144<167<169 \\ \sqrt{144}<\sqrt{167}<\sqrt{169}; \\ 12<\sqrt{167}<13 \end{gathered}$$

Ответ: 12 и 13

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}{16}^2=256<289; {17}^2=289>288; \\ 256<288<289 \\ \sqrt{256}<\sqrt{288}<\sqrt{289}; \\ 16<\sqrt{288}<17 \end{gathered}$$

Ответ: 16 и 17

а) Чтобы найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число $ \sqrt{27} $, нужно найти два последовательных целых числа, квадраты которых "окружают" число 27. Рассмотрим квадраты последовательных целых чисел: $ 5^2 = 25 $ и $ 6^2 = 36 $. Так как $ 25 < 27 < 36 $, то можно записать двойное неравенство: $ 5^2 < 27 < 6^2 $. Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем: $ \sqrt{5^2} < \sqrt{27} < \sqrt{6^2} $, что равносильно $ 5 < \sqrt{27} < 6 $. Таким образом, число $ \sqrt{27} $ находится между числами 5 и 6.
Ответ: 5 и 6.

б) Для числа $ \sqrt{40} $ найдем два последовательных целых числа, квадраты которых близки к 40. Это $ 6^2 = 36 $ и $ 7^2 = 49 $. Поскольку $ 36 < 40 < 49 $, то справедливо неравенство $ 6^2 < 40 < 7^2 $. Извлекая квадратный корень из всех частей, получаем $ \sqrt{6^2} < \sqrt{40} < \sqrt{7^2} $, то есть $ 6 < \sqrt{40} < 7 $. Значит, искомые числа — это 6 и 7.
Ответ: 6 и 7.

в) Найдем квадраты целых чисел, близких к подкоренному выражению 120. Это $ 10^2 = 100 $ и $ 11^2 = 121 $. Так как $ 100 < 120 < 121 $, то можно записать неравенство $ 10^2 < 120 < 11^2 $. Извлекая корень из каждой части, получим $ \sqrt{10^2} < \sqrt{120} < \sqrt{11^2} $, или $ 10 < \sqrt{120} < 11 $. Следовательно, искомые числа — 10 и 11.
Ответ: 10 и 11.

г) Рассмотрим подкоренное выражение 9,2. Найдем ближайшие к нему полные квадраты целых чисел. Это $ 3^2 = 9 $ и $ 4^2 = 16 $. Поскольку $ 9 < 9,2 < 16 $, то справедливо неравенство $ 3^2 < 9,2 < 4^2 $. Извлекая корень, получаем $ \sqrt{3^2} < \sqrt{9,2} < \sqrt{4^2} $, то есть $ 3 < \sqrt{9,2} < 4 $. Искомые числа — 3 и 4.
Ответ: 3 и 4.

д) Подкоренное выражение — 0,4. Найдем квадраты целых чисел, между которыми оно находится. Это $ 0^2 = 0 $ и $ 1^2 = 1 $. Так как $ 0 < 0,4 < 1 $, то $ 0^2 < 0,4 < 1^2 $. Извлекая корень из неравенства, получаем $ \sqrt{0^2} < \sqrt{0,4} < \sqrt{1^2} $, что равносильно $ 0 < \sqrt{0,4} < 1 $. Искомые числа — 0 и 1.
Ответ: 0 и 1.

е) Для числа $ \sqrt{15} $ найдем целые числа, чьи квадраты "окружают" число 15. Это $ 3^2 = 9 $ и $ 4^2 = 16 $. Поскольку $ 9 < 15 < 16 $, то $ 3^2 < 15 < 4^2 $. Извлекая корень, получаем $ \sqrt{3^2} < \sqrt{15} < \sqrt{4^2} $, то есть $ 3 < \sqrt{15} < 4 $. Искомые числа — 3 и 4.
Ответ: 3 и 4.

ж) Подкоренное выражение равно 167. Найдем квадраты целых чисел, близких к 167. Это $ 12^2 = 144 $ и $ 13^2 = 169 $. Так как $ 144 < 167 < 169 $, то $ 12^2 < 167 < 13^2 $. Извлекая корень, получаем $ \sqrt{12^2} < \sqrt{167} < \sqrt{13^2} $, то есть $ 12 < \sqrt{167} < 13 $. Искомые числа — 12 и 13.
Ответ: 12 и 13.

з) Рассмотрим число 288. Найдем квадраты последовательных целых чисел, между которыми оно заключено. Это $ 16^2 = 256 $ и $ 17^2 = 289 $. Так как $ 256 < 288 < 289 $, то $ 16^2 < 288 < 17^2 $. Извлекая корень из всех частей неравенства, получаем $ \sqrt{16^2} < \sqrt{288} < \sqrt{17^2} $, что равносильно $ 16 < \sqrt{288} < 17 $. Искомые числа — 16 и 17.
Ответ: 16 и 17.

330. Найдите цифры разрядов единиц, десятых, сотых в десятичной записи иррациональных чисел 3, 5, 6.

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} 1^2=1<3; 2^2=4>3; 1<\sqrt{3}<2; \sqrt{3}=1,... \\ 1,7^2=2,89<3; 1,8^2=3,24>3; 1,7<\sqrt{3}<1,8; \\ \sqrt{3}=1,7... \\ 1,{71}^2=2,9241; 1,{72}^2=2,9584; \\ 1,{73}^2=2,9929; 1,{74}^2=3,0276>3 \\ 1,73<\sqrt{3}<1,74 \\ \sqrt{3}\approx 1,73 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 2^2=4<5; 3^2=9>5; 2<\sqrt{5}<3; \sqrt{5}=2,... \\ 2,2^2=4,84<5; 2,3^2=5,29>5; 2,2<\sqrt{5}<2,3; \\ \sqrt{5}=2,2... \\ 2,{21}^2=4,8841; 2,{22}^2=4,9284; \\ 2,{23}^2=4,9729; 2,{24}^2=5,0176>5 \\ 2,23<\sqrt{5}<2,24 \\ \sqrt{5}\approx 2,23 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} 2^2=4<6; 3^2=9>6; 2<\sqrt{6}<3; \sqrt{6}=2,... \\ 2,4^2=5,76<6; 2,5^2=6,25>6; 2,4<\sqrt{6}<2,5; \\ \sqrt{6}=2,4... \\ 2,{41}^2=5,8081; 2,{42}^2=5,8564; 2,{43}^2=5,9049; \\ 2,{44}^2=5,9536; 2,{45}^2=6,0025>6 \\ 2,44<\sqrt{6}<2,45 \\ \sqrt{6}\approx 2,44 \end{gathered}$$

Для решения задачи найдем десятичное представление каждого иррационального числа с точностью до двух знаков после запятой. Мы будем делать это методом последовательной оценки, находя цифру в каждом требуемом разряде (единиц, десятых, сотых) путем подбора и возведения чисел в квадрат.

Для числа $\sqrt{3}$

1. Нахождение цифры разряда единиц.

Найдем два последовательных целых числа, между которыми находится $\sqrt{3}$. Для этого рассмотрим квадраты целых чисел, близких к 3:

$1^2 = 1$

$2^2 = 4$

Поскольку $1 < 3 < 4$, то и $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, что равносильно $1 < \sqrt{3} < 2$.

Это означает, что целая часть числа $\sqrt{3}$ равна 1. Следовательно, цифра в разряде единиц — 1.

2. Нахождение цифры разряда десятых.

Теперь будем искать цифру в разряде десятых, возводя в квадрат числа вида $1,x$. Нам нужно найти такое $x$, чтобы $(1,x)^2 \le 3 < (1,x+0,1)^2$.

$1,7^2 = 2,89$

$1,8^2 = 3,24$

Так как $2,89 < 3 < 3,24$, то $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$. Значит, цифра в разряде десятых — 7.

3. Нахождение цифры разряда сотых.

Аналогично, ищем цифру в разряде сотых, возводя в квадрат числа вида $1,7x$.

$1,73^2 = 2,9929$

$1,74^2 = 3,0276$

Так как $2,9929 < 3 < 3,0276$, то $1,73 < \sqrt{3} < 1,74$. Значит, цифра в разряде сотых — 3.

Ответ: для числа $\sqrt{3}$ цифра разряда единиц — 1, цифра разряда десятых — 7, цифра разряда сотых — 3.

Для числа $\sqrt{5}$

1. Нахождение цифры разряда единиц.

Найдем два последовательных целых числа, между которыми находится $\sqrt{5}$. Рассмотрим квадраты целых чисел:

$2^2 = 4$

$3^2 = 9$

Поскольку $4 < 5 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, что равносильно $2 < \sqrt{5} < 3$.

Следовательно, цифра в разряде единиц — 2.

2. Нахождение цифры разряда десятых.

Ищем цифру в разряде десятых, возводя в квадрат числа вида $2,x$.

$2,2^2 = 4,84$

$2,3^2 = 5,29$

Так как $4,84 < 5 < 5,29$, то $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$. Значит, цифра в разряде десятых — 2.

3. Нахождение цифры разряда сотых.

Ищем цифру в разряде сотых, возводя в квадрат числа вида $2,2x$.

$2,23^2 = 4,9729$

$2,24^2 = 5,0176$

Так как $4,9729 < 5 < 5,0176$, то $2,23 < \sqrt{5} < 2,24$. Значит, цифра в разряде сотых — 3.

Ответ: для числа $\sqrt{5}$ цифра разряда единиц — 2, цифра разряда десятых — 2, цифра разряда сотых — 3.

Для числа $\sqrt{6}$

1. Нахождение цифры разряда единиц.

Найдем два последовательных целых числа, между которыми находится $\sqrt{6}$. Рассмотрим квадраты целых чисел:

$2^2 = 4$

$3^2 = 9$

Поскольку $4 < 6 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$, что равносильно $2 < \sqrt{6} < 3$.

Следовательно, цифра в разряде единиц — 2.

2. Нахождение цифры разряда десятых.

Ищем цифру в разряде десятых, возводя в квадрат числа вида $2,x$.

$2,4^2 = 5,76$

$2,5^2 = 6,25$

Так как $5,76 < 6 < 6,25$, то $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$. Значит, цифра в разряде десятых — 4.

3. Нахождение цифры разряда сотых.

Ищем цифру в разряде сотых, возводя в квадрат числа вида $2,4x$.

$2,44^2 = 5,9536$

$2,45^2 = 6,0025$

Так как $5,9536 < 6 < 6,0025$, то $2,44 < \sqrt{6} < 2,45$. Значит, цифра в разряде сотых — 4.

Ответ: для числа $\sqrt{6}$ цифра разряда единиц — 2, цифра разряда десятых — 4, цифра разряда сотых — 4.

331. Верно ли утверждение:

а) число 5 больше 2;

б) число 5,2 меньше 2;

в) число 170 меньше 13;

г) число 39 больше числа 38?

a) $2^2=4<5; \sqrt{5}>\sqrt{4}; \sqrt{5}>2$ - верно

б) $2^2=4<5,2; \sqrt{5,2}>\sqrt{4}; \sqrt{5,2}>2$ - неверно

в) ${13}^2=169<170; \sqrt{170}>\sqrt{169}; \sqrt{170}>13$ - неверно

г) $\sqrt{39}>\sqrt{38}$ - верно

а) Чтобы сравнить число $\sqrt{5}$ и 2, возведем оба положительных числа в квадрат. Квадрат числа $\sqrt{5}$ равен $(\sqrt{5})^2 = 5$. Квадрат числа 2 равен $2^2 = 4$. Так как $5 > 4$, то и $\sqrt{5} > \sqrt{4}$, что означает $\sqrt{5} > 2$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

б) Чтобы проверить утверждение, сравним квадраты чисел $\sqrt{5,2}$ и 2. $(\sqrt{5,2})^2 = 5,2$ и $2^2 = 4$. Поскольку $5,2 > 4$, то $\sqrt{5,2} > \sqrt{4}$, то есть $\sqrt{5,2} > 2$. Утверждение, что число $\sqrt{5,2}$ меньше 2, является неверным.

Ответ: неверно.

в) Чтобы сравнить число $\sqrt{170}$ и 13, возведем их в квадрат. $(\sqrt{170})^2 = 170$. Квадрат числа 13 равен $13^2 = 169$. Так как $170 > 169$, то и $\sqrt{170} > \sqrt{169}$, следовательно, $\sqrt{170} > 13$. Утверждение, что $\sqrt{170}$ меньше 13, является неверным.

Ответ: неверно.

г) Для сравнения чисел $\sqrt{39}$ и $\sqrt{38}$ необходимо сравнить их подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x \ge 0$. Это означает, что большему значению подкоренного выражения соответствует большее значение корня. Поскольку $39 > 38$, то и $\sqrt{39} > \sqrt{38}$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

332. Какое из чисел 1,4 2 7 5,2 отмечено на координатной прямой точкой A; точкой B (рис. 14)?

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} 1^2=1<1,4; 2^2=4>1,4; 1<\sqrt{1,4}<2 \\ 1,1^2=1,21<1,4; 1,2^2=1,44>1,4; 1,1<\sqrt{1,4}<1,2 \end{gathered}$$

Значит, число $\sqrt{1,4}$ не соответствует ни точке A, ни точке B

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 1^2=1<2; 2^2=4>2; 1<\sqrt{2}<2 \\ 1,4^2=1,96<2; 1,5^2=2,25>2; 1,4<\sqrt{2}<1,5 \\ A\left(\sqrt{2}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} 2^2=4<7; 3^2=9>7; 2<\sqrt{7}<3 \\ 2,6^2=6,76<7; 2,7^2=7,29>7; 2,6<\sqrt{7}<2,7 \end{gathered}$$

Значит, число $\sqrt{7}$ не соответствует ни точке A, ни точке B

$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)} 2^2=4<5,2; 3^2=9>5,2; 2<\sqrt{5,2}<3 \\ 2,2^2=4,84<5; 2,3^2=5,29>5,2; 2,2<\sqrt{5,2}<2,3 \\ B\left(\sqrt{5,2}\right) \end{gathered}$$

Ответ: $A\left(\sqrt{2}\right), B\left(\sqrt{5,2}\right)$

Чтобы определить, какие числа соответствуют точкам A и B, сначала найдем масштаб координатной прямой. Расстояние между отметками 1 и 2 разделено на 4 равных интервала, следовательно, длина одного интервала составляет $(2 - 1) / 4 = 0.25$.

точкой A

Точка A расположена на координатной прямой между отметками $1 + 1 \cdot 0.25 = 1.25$ и $1 + 2 \cdot 0.25 = 1.5$. Таким образом, если координата точки A — это $a$, то выполняется неравенство $1.25 < a < 1.5$.

Чтобы сравнить эту координату с предложенными числами ($\sqrt{1.4}$; $\sqrt{2}$; $\sqrt{7}$; $\sqrt{5.2}$), возведем в квадрат все части неравенства:

$1.25^2 < a^2 < 1.5^2$

$1.5625 < a^2 < 2.25$

Теперь сравним подкоренные выражения предложенных чисел: $1.4$; $2$; $7$; $5.2$. Из этих чисел только $2$ находится в интервале $(1.5625, 2.25)$. Следовательно, точке A соответствует число $\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

точкой B

Точка B расположена на координатной прямой между отметками $2 + 2 \cdot 0.25 = 2.5$ и $2 + 3 \cdot 0.25 = 2.75$. Таким образом, если координата точки B — это $b$, то выполняется неравенство $2.5 < b < 2.75$.

Возведем в квадрат все части этого неравенства:

$2.5^2 < b^2 < 2.75^2$

$6.25 < b^2 < (11/4)^2$

$6.25 < b^2 < 121/16$

$6.25 < b^2 < 7.5625$

Из подкоренных выражений предложенных чисел ($1.4$; $2$; $7$; $5.2$) только $7$ находится в интервале $(6.25, 7.5625)$. Следовательно, точке B соответствует число $\sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{7}$.

333. Какое из чисел 0,6; $\frac{142}{29}$ ; 3; 33 отмечено на координатной прямой точкой A (рис. 15)?

Координата точки A находится между целыми числами 5 и 6, ближе к 6.

Поэтому 0,6 и 3 не подходят.

$\frac{142}{29}=4\frac{26}{29}$ - не подходит

Проверим число $\sqrt{33}$

$$\begin{gathered} 5^2=25<33; 6^2=36>33; 5<\sqrt{33}<6 \\ 5,7^2=32,49<33; 5,8^2=33,64>33 \\ 5,7<\sqrt{33}<5,8 \end{gathered}$$

Ответ: $A\left(\sqrt{33}\right)$

Для того чтобы определить, какое из чисел соответствует точке А, сначала определим масштаб координатной прямой и примерное значение координаты точки А.

На оси отмечены точки 0 и 8. Расстояние между ними разделено на 4 равных отрезка (соответствующих сторонам клеток). Следовательно, цена одного такого деления равна:
$(8 - 0) / 4 = 2$.
Таким образом, большие отметки на оси соответствуют числам 0, 2, 4, 6, 8.

Точка А находится на отрезке между отметками 4 и 6. Визуально она расположена правее середины этого отрезка (точки 5). Это означает, что координата точки А — это число, которое больше 5, но меньше 6.
$5 < A < 6$.

Теперь оценим каждое из предложенных чисел, чтобы найти то, которое удовлетворяет этому условию.

0,6
Это число меньше 1, поэтому оно не может соответствовать точке А.

$\frac{142}{29}$
Чтобы оценить значение этой дроби, можно выполнить деление. Заметим, что $29 \times 5 = 145$. Так как $142 < 145$, то $\frac{142}{29} < 5$. Более точное значение: $\frac{142}{29} \approx 4,897$. Это число меньше 5 и не соответствует точке А, которая расположена правее 5.

3
Это число меньше 4, следовательно, оно не соответствует точке А.

$\sqrt{33}$
Оценим значение этого корня, сравнив его с квадратами целых чисел:
$5^2 = 25$
$6^2 = 36$
Поскольку $25 < 33 < 36$, то $\sqrt{25} < \sqrt{33} < \sqrt{36}$, что означает $5 < \sqrt{33} < 6$.
Это единственное число из предложенных, которое попадает в интервал $(5, 6)$. Кроме того, число 33 (под корнем) находится ближе к 36, чем к 25, поэтому значение $\sqrt{33}$ должно быть ближе к 6, чем к 5. Это полностью соответствует положению точки А на рисунке.

Следовательно, точка А на координатной прямой соответствует числу $\sqrt{33}$.

Ответ: $\sqrt{33}$