Страница 78 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

328. Изобразите схематически в одной и той же системе координат графики функций y =10x и y = 10x. Имеют ли эти графики общие точки, и если имеют, то сколько?

$y=\frac{10}{x} y=10x$

Для решения данной задачи необходимо выполнить два шага: сначала построить схематические графики обеих функций в одной координатной плоскости, а затем аналитически найти их точки пересечения, чтобы ответить на вопрос о их наличии и количестве.

1. Схематическое изображение графиков

Рассмотрим первую функцию: $y = \frac{10}{x}$.
Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола. Поскольку коэффициент $k=10$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами для этого графика. Для построения наметим несколько точек:
- в I четверти: (1, 10), (2, 5), (5, 2), (10, 1);
- в III четверти: (-1, -10), (-2, -5), (-5, -2), (-10, -1).

Рассмотрим вторую функцию: $y = 10x$.
Это функция прямой пропорциональности, её график — прямая линия, проходящая через начало координат (0, 0). Так как угловой коэффициент $k=10$ положителен, прямая также располагается в I и III координатных четвертях. Для её построения достаточно двух точек, например, (0, 0) и (1, 10).

При изображении этих двух графиков в одной системе координат мы видим, что прямая $y=10x$ пересекает обе ветви гиперболы $y = \frac{10}{x}$.

2. Нахождение общих точек

Чтобы найти общие точки графиков, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих функций. Общие точки — это точки, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям.$$\begin{cases} y = \frac{10}{x} \\ y = 10x\end{cases}$$Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:$$ \frac{10}{x} = 10x $$Область допустимых значений для этого уравнения $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$:$$ 10 = 10x^2 $$Разделим обе части уравнения на 10:$$ 1 = x^2 $$Это квадратное уравнение имеет два решения:$$ x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -1 $$Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$. Для этого подставим значения $x$ в любое из исходных уравнений, например, в $y=10x$:
- при $x_1 = 1$: $y_1 = 10 \cdot 1 = 10$. Получаем точку $(1, 10)$.
- при $x_2 = -1$: $y_2 = 10 \cdot (-1) = -10$. Получаем точку $(-1, -10)$.
Таким образом, графики функций имеют две общие точки.

Ответ: Да, эти графики имеют общие точки. Всего 2 общие точки.