Страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

357. Сравните числа:

a) $\sqrt{27}<\sqrt{28}$

б) $\sqrt{1,3}<\sqrt{1,5}$

в) $\sqrt{7}<3, \sqrt{7}<\sqrt{9}$

г) $\sqrt{6,25}=2,5$

д) $\sqrt{\frac{1}{5}}>\sqrt{\frac{1}{6}}$

е) $\sqrt{0,8}<1$

ж) $\sqrt{0,18}>0,4; \sqrt{0,18}>\sqrt{0,16}$

з) $\sqrt{\frac{4}{5}}<\sqrt{\frac{5}{6}}; \frac{4}{5}<\frac{5}{6}; \frac{24}{30}<\frac{25}{30}$

и) $\sqrt{3,5}<\sqrt{3\frac{2}{3}}; 3,5<3\frac{2}{3}; 3\frac{1}{2}<3\frac{2}{3}; 3\frac{3}{6}<3\frac{4}{6}$

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt{27}$ и $\sqrt{28}$, нужно сравнить их подкоренные выражения. Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех неотрицательных $x$, то большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Сравниваем числа 27 и 28. Так как $27 < 28$, то и $\sqrt{27} < \sqrt{28}$.
Ответ: $\sqrt{27} < \sqrt{28}$.

б) Для сравнения чисел $\sqrt{1,3}$ и $\sqrt{1,5}$ также сравниваем их подкоренные выражения. Так как $1,3 < 1,5$, то $\sqrt{1,3} < \sqrt{1,5}$.
Ответ: $\sqrt{1,3} < \sqrt{1,5}$.

в) Чтобы сравнить $\sqrt{7}$ и 3, представим число 3 в виде квадратного корня. Поскольку $3^2 = 9$, то $3 = \sqrt{9}$. Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt{7}$ и $\sqrt{9}$. Так как $7 < 9$, то $\sqrt{7} < \sqrt{9}$, а значит $\sqrt{7} < 3$.
Ответ: $\sqrt{7} < 3$.

г) Сравним числа $\sqrt{6,25}$ и 2,5. Для этого можно либо извлечь корень из 6,25, либо возвести 2,5 в квадрат. Возведем 2,5 в квадрат: $2,5^2 = 6,25$. Получаем, что $\sqrt{6,25} = \sqrt{2,5^2} = 2,5$. Следовательно, числа равны.
Ответ: $\sqrt{6,25} = 2,5$.

д) Сравним $\sqrt{\frac{1}{5}}$ и $\sqrt{\frac{1}{6}}$. Для этого сравним подкоренные дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Приведем их к общему знаменателю 30: $\frac{1}{5} = \frac{6}{30}$ и $\frac{1}{6} = \frac{5}{30}$. Так как $\frac{6}{30} > \frac{5}{30}$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{5}} > \sqrt{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{5}} > \sqrt{\frac{1}{6}}$.

е) Чтобы сравнить $\sqrt{0,8}$ и 1, представим 1 в виде корня: $1 = \sqrt{1^2} = \sqrt{1}$. Теперь сравним $\sqrt{0,8}$ и $\sqrt{1}$. Так как $0,8 < 1$, то $\sqrt{0,8} < \sqrt{1}$, следовательно $\sqrt{0,8} < 1$.
Ответ: $\sqrt{0,8} < 1$.

ж) Сравним $\sqrt{0,18}$ и 0,4. Так как оба числа неотрицательны, мы можем сравнить их квадраты. $(\sqrt{0,18})^2 = 0,18$. $(0,4)^2 = 0,16$. Сравниваем результаты: $0,18 > 0,16$. Следовательно, и исходные числа находятся в том же соотношении: $\sqrt{0,18} > 0,4$.
Ответ: $\sqrt{0,18} > 0,4$.

з) Сравним $\sqrt{\frac{4}{5}}$ и $\sqrt{\frac{5}{6}}$. Сравним подкоренные выражения $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 30: $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30}$ и $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}$. Так как $24 < 25$, то $\frac{24}{30} < \frac{25}{30}$, а значит $\frac{4}{5} < \frac{5}{6}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{4}{5}} < \sqrt{\frac{5}{6}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{4}{5}} < \sqrt{\frac{5}{6}}$.

и) Сравним $\sqrt{3,5}$ и $\sqrt{3\frac{2}{3}}$. Сравним подкоренные выражения $3,5$ и $3\frac{2}{3}$. Для удобства сравнения переведем оба числа в неправильные дроби. $3,5 = 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$. $3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$. Теперь приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{7}{2} = \frac{21}{6}$ и $\frac{11}{3} = \frac{22}{6}$. Так как $21 < 22$, то $\frac{21}{6} < \frac{22}{6}$, что означает $3,5 < 3\frac{2}{3}$. Следовательно, $\sqrt{3,5} < \sqrt{3\frac{2}{3}}$.
Ответ: $\sqrt{3,5} < \sqrt{3\frac{2}{3}}$.

358. Расположите в порядке возрастания числа:

a) $\sqrt{0,07}; \sqrt{0,6}; \sqrt{2,3}; \sqrt{16,4}; \sqrt{19,5}$

б) $\frac{1}{9}=\sqrt{\frac{1}{81}}; 2\frac{1}{7}=\frac{15}{7}=\sqrt{\frac{225}{49}}=\sqrt{4\frac{29}{49}}$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{81}}; \sqrt{\frac{1}{3}}; \sqrt{0,5}; \sqrt{2\frac{1}{9}}; \sqrt{4\frac{29}{49}} \\ \frac{1}{9}; \sqrt{\frac{1}{3}}; \sqrt{0,5}; \sqrt{2\frac{1}{9}}; 2\frac{1}{7} \end{gathered}$$

а) Чтобы расположить числа $\sqrt{2,3}$, $\sqrt{16,4}$, $\sqrt{19,5}$, $\sqrt{0,6}$, $\sqrt{0,07}$ в порядке возрастания, нужно сравнить их подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для неотрицательных значений $x$, это означает, что чем больше значение подкоренного выражения, тем больше значение самого корня.

Сравним подкоренные выражения: $2,3$, $16,4$, $19,5$, $0,6$, $0,07$.

Расположим эти числа в порядке возрастания:

$0,07 < 0,6 < 2,3 < 16,4 < 19,5$.

Следовательно, квадратные корни из этих чисел будут расположены в том же порядке:

$\sqrt{0,07} < \sqrt{0,6} < \sqrt{2,3} < \sqrt{16,4} < \sqrt{19,5}$.

Ответ: $\sqrt{0,07}, \sqrt{0,6}, \sqrt{2,3}, \sqrt{16,4}, \sqrt{19,5}$.

б) Чтобы расположить числа $\sqrt{0,5}$, $\frac{1}{9}$, $\sqrt{\frac{1}{3}}$, $2\frac{1}{7}$, $\sqrt{2\frac{1}{9}}$ в порядке возрастания, приведем их к одному виду. Так как все числа в задании положительные, мы можем сравнить их квадраты. Для положительных чисел, если $a < b$, то $a^2 < b^2$.

Найдем квадраты каждого из данных чисел:

$(\sqrt{0,5})^2 = 0,5 = \frac{1}{2}$

$(\frac{1}{9})^2 = \frac{1}{81}$

$(\sqrt{\frac{1}{3}})^2 = \frac{1}{3}$

$(2\frac{1}{7})^2 = (\frac{15}{7})^2 = \frac{225}{49}$

$(\sqrt{2\frac{1}{9}})^2 = 2\frac{1}{9} = \frac{19}{9}$

Теперь необходимо сравнить полученные квадраты: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{81}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{225}{49}$, $\frac{19}{9}$.

Оценим величину каждого из этих чисел, представив их в виде десятичных дробей или смешанных чисел:

• $\frac{1}{81} \approx 0,012$
• $\frac{1}{3} \approx 0,333$
• $\frac{1}{2} = 0,5$
• $\frac{19}{9} = 2\frac{1}{9} \approx 2,111$
• $\frac{225}{49} = 4\frac{29}{49} \approx 4,592$

Расположим квадраты чисел в порядке возрастания:

$\frac{1}{81} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{19}{9} < \frac{225}{49}$.

Этот порядок соответствует следующему порядку исходных чисел:

$\frac{1}{9} < \sqrt{\frac{1}{3}} < \sqrt{0,5} < \sqrt{2\frac{1}{9}} < 2\frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{9}, \sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt{0,5}, \sqrt{2\frac{1}{9}}, 2\frac{1}{7}$.

359. Найдите значение выражения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}0,5\sqrt{121}+3\sqrt{0,81}=0,5·11+3·0,9= \\ =5,5+2,7=8,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{\left(-3\sqrt{\frac{1}{3}}\right)}^2-10\sqrt{0,64}=9·\frac{1}{3}-10·0,8= \\ =3-8=-5 \end{gathered}$$

в) $\sqrt{400}-{\left(4\sqrt{0,5}\right)}^2=20-16·0,5=20-8=12$

г) $\sqrt{144}·\sqrt{900}·\sqrt{0,01}=12·30·0,1=36$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}{\left(-\sqrt{\frac{1}{11}}\right)}^2-5\sqrt{0,16}=\frac{1}{11}-5·0,4=\frac{1}{11}-2= \\ =\frac{1}{11}-1\frac{11}{11}=-1\frac{10}{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}{\left(-6\sqrt{\frac{1}{6}}\right)}^2-4\sqrt{0,36}=36·\frac{1}{6}-4·0,6= \\ =6-2,4=3,6 \end{gathered}$$

а) $0,5\sqrt{121} + 3\sqrt{0,81}$

Чтобы найти значение выражения, сначала вычислим значения квадратных корней.

$\sqrt{121} = 11$, так как $11^2 = 121$.

$\sqrt{0,81} = 0,9$, так как $0,9^2 = 0,81$.

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$0,5 \cdot 11 + 3 \cdot 0,9 = 5,5 + 2,7 = 8,2$.

Ответ: 8,2.

б) $(-3\sqrt{\frac{1}{3}})^2 - 10\sqrt{0,64}$

Сначала возведем в квадрат первое слагаемое, используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(-3\sqrt{\frac{1}{3}})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{\frac{1}{3}})^2 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$.

Теперь вычислим второе слагаемое. $\sqrt{0,64} = 0,8$, так как $0,8^2 = 0,64$.

$10\sqrt{0,64} = 10 \cdot 0,8 = 8$.

Выполним вычитание:

$3 - 8 = -5$.

Ответ: -5.

в) $\sqrt{400} - (4\sqrt{0,5})^2$

Вычислим значение первого слагаемого: $\sqrt{400} = 20$, так как $20^2 = 400$.

Теперь вычислим второе слагаемое, возведя его в квадрат:

$(4\sqrt{0,5})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{0,5})^2 = 16 \cdot 0,5 = 8$.

Выполним вычитание:

$20 - 8 = 12$.

Ответ: 12.

г) $\sqrt{144} \cdot \sqrt{900} \cdot \sqrt{0,01}$

Можно использовать свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ или вычислить каждый корень по отдельности. Второй способ проще.

$\sqrt{144} = 12$

$\sqrt{900} = 30$

$\sqrt{0,01} = 0,1$

Теперь перемножим полученные значения:

$12 \cdot 30 \cdot 0,1 = 360 \cdot 0,1 = 36$.

Ответ: 36.

д) $(-\sqrt{\frac{1}{11}})^2 - 5\sqrt{0,16}$

Сначала вычислим первое слагаемое. При возведении в квадрат отрицательное число становится положительным, а корень "исчезает":

$(-\sqrt{\frac{1}{11}})^2 = \frac{1}{11}$.

Теперь вычислим второе слагаемое. $\sqrt{0,16} = 0,4$, так как $0,4^2 = 0,16$.

$5\sqrt{0,16} = 5 \cdot 0,4 = 2$.

Выполним вычитание:

$\frac{1}{11} - 2 = \frac{1}{11} - \frac{22}{11} = -\frac{21}{11} = -1\frac{10}{11}$.

Ответ: $-1\frac{10}{11}$.

е) $(-6\sqrt{\frac{1}{6}})^2 - 4\sqrt{0,36}$

Вычислим первое слагаемое:

$(-6\sqrt{\frac{1}{6}})^2 = (-6)^2 \cdot (\sqrt{\frac{1}{6}})^2 = 36 \cdot \frac{1}{6} = 6$.

Вычислим второе слагаемое. $\sqrt{0,36} = 0,6$, так как $0,6^2 = 0,36$.

$4\sqrt{0,36} = 4 \cdot 0,6 = 2,4$.

Выполним вычитание:

$6 - 2,4 = 3,6$.

Ответ: 3,6.

360. Имеет ли смысл выражение:

a) $\sqrt{{\left(-9\right)}^2}=\sqrt{81}=9$ - да

б) ${\left(\sqrt{-9}\right)}^2$ - не имеет смысла, т.к. -9<0

в) $-\sqrt{9^2}=-\sqrt{81}=-9$ - да

г) $-\sqrt{{\left(-9\right)}^2}=-\sqrt{81}=-9$ - да

Для того чтобы определить, имеет ли смысл выражение, содержащее арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$), необходимо проверить, является ли подкоренное выражение ($a$) неотрицательным, то есть выполняется ли условие $a \ge 0$.

а) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-9)^2}$.

Сначала необходимо вычислить значение подкоренного выражения, то есть $(-9)^2$.

Возведение в квадрат: $(-9)^2 = (-9) \cdot (-9) = 81$.

Теперь выражение принимает вид $\sqrt{81}$.

Поскольку подкоренное выражение $81$ является положительным числом ($81 \ge 0$), из него можно извлечь арифметический квадратный корень. $\sqrt{81} = 9$.

Следовательно, данное выражение имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

б) Рассмотрим выражение $(\sqrt{-9})^2$.

Чтобы вычислить это выражение, сначала нужно найти значение выражения в скобках: $\sqrt{-9}$.

Подкоренное выражение равно $-9$. В области действительных чисел арифметический квадратный корень из отрицательного числа не определен, так как не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу.

Поскольку операция $\sqrt{-9}$ невыполнима в действительных числах, всё выражение не имеет смысла.

Ответ: нет, не имеет смысла.

в) Рассмотрим выражение $-\sqrt{9^2}$.

Сначала вычислим значение подкоренного выражения: $9^2 = 81$.

Выражение принимает вид $-\sqrt{81}$.

Подкоренное выражение $81$ является положительным числом, поэтому корень $\sqrt{81}$ имеет смысл и равен $9$.

Далее выполняем действие "минус" перед корнем: $-\sqrt{81} = -9$.

Все действия выполнимы, следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

г) Рассмотрим выражение $-\sqrt{(-9)^2}$.

Сначала вычислим значение подкоренного выражения: $(-9)^2 = 81$.

Выражение принимает вид $-\sqrt{81}$.

Подкоренное выражение $81$ является положительным числом, поэтому корень $\sqrt{81}$ имеет смысл и равен $9$.

Далее выполняем действие "минус" перед корнем: $-\sqrt{81} = -9$.

Все действия выполнимы, следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

361. Решите уравнения

а)

Решим первое уравнение: $x^2 = 11$.

Это квадратное уравнение. Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку $11 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \pm\sqrt{11}$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \sqrt{11}$ и $x_2 = -\sqrt{11}$.

Решим второе уравнение: $\sqrt{x} = 11$.

По определению арифметического квадратного корня, подкоренное выражение не может быть отрицательным, то есть $x \ge 0$. Также значение корня должно быть неотрицательным, что выполняется, так как $11 \ge 0$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 11^2$

$x = 121$.

Полученное значение $x=121$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: для уравнения $x^2 = 11$ корни $x = \sqrt{11}$ и $x = -\sqrt{11}$; для уравнения $\sqrt{x} = 11$ корень $x = 121$.

б)

Решим первое уравнение: $2x^2 = \frac{1}{2}$.

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $x^2$:

$x^2 = \frac{1}{2} \div 2$

$x^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$x^2 = \frac{1}{4}$.

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Уравнение имеет два корня:

$x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$x_{1,2} = \pm\frac{1}{2}$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Решим второе уравнение: $2\sqrt{x} = \frac{1}{2}$.

Область допустимых значений для $x$ определяется условием $x \ge 0$.

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{2} \div 2$

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти $x$:

$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$x = \frac{1}{16}$.

Полученное значение $x = \frac{1}{16}$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: для уравнения $2x^2 = \frac{1}{2}$ корни $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$; для уравнения $2\sqrt{x} = \frac{1}{2}$ корень $x = \frac{1}{16}$.

1. Какие числа образуют множество действительных чисел?

1. множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Множество действительных чисел (также их называют вещественными), обозначаемое символом $ \mathbb{R} $, представляет собой объединение двух больших классов чисел: рациональных и иррациональных. Совокупность этих чисел полностью заполняет числовую прямую, то есть каждой точке на прямой соответствует уникальное действительное число, и наоборот, каждому действительному числу соответствует единственная точка на прямой.

Рассмотрим эти классы чисел подробнее.

Рациональные числа ($ \mathbb{Q} $)

Это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{m}{n} $, где числитель $ m $ — это целое число ($ m \in \mathbb{Z} $), а знаменатель $ n $ — натуральное число ($ n \in \mathbb{N} $). При переводе в десятичную форму рациональное число будет либо конечной десятичной дробью, либо бесконечной периодической дробью.

Множество рациональных чисел включает в себя:

• Натуральные числа ($ \mathbb{N} $): числа, которые мы используем для счета (1, 2, 3, 10, 100, ...). Любое натуральное число $ n $ является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $ \frac{n}{1} $.
• Целые числа ($ \mathbb{Z} $): это все натуральные числа, числа им противоположные (отрицательные целые) и ноль (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). Любое целое число $ z $ можно представить как $ \frac{z}{1} $.
• Дробные числа: это все остальные рациональные числа, которые не являются целыми. Например: $ \frac{1}{2} = 0.5 $, $ -\frac{3}{4} = -0.75 $, $ \frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3) $.

Иррациональные числа ($ \mathbb{I} $)

Это числа, которые невозможно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $. Их десятичное представление всегда является бесконечной непериодической дробью.

Примеры иррациональных чисел:

• Арифметические корни из чисел, которые не являются точными квадратами, кубами и т.д. Например: $ \sqrt{2} \approx 1.41421356... $, $ \sqrt{7} $, $ \sqrt[3]{5} $.
• Всемирно известные математические константы, такие как число Пи ($ \pi \approx 3.14159265... $) и число Эйлера (основание натурального логарифма) ($ e \approx 2.71828182... $).

Таким образом, объединив все рациональные и все иррациональные числа, мы получаем множество действительных чисел. Математически это записывается так: $ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $.

Ответ: Множество действительных чисел образуют все рациональные и все иррациональные числа.

2. Какие действительные числа можно и какие нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному?

2. Бесконечные десятичные периодические дроби (рациональные числа) можно представить в виде отношения целого числа к натуральному.

Бесконечные десятичные непериодические дроби (иррациональные числа) нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному.

Множество всех действительных чисел ($ \mathbb{R} $) можно разделить на две большие группы в зависимости от того, можно ли их представить в виде отношения целого числа к натуральному.

Числа, которые можно представить в виде отношения целого числа к натуральному

Такие числа называются рациональными числами. По определению, любое рациональное число $r$ может быть записано в виде дроби: $ r = \frac{p}{q} $ где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$).

К рациональным числам относятся:

• Все целые числа: например, $5$ можно представить как $\frac{5}{1}$, а $-12$ как $\frac{-12}{1}$.
• Все конечные десятичные дроби: например, $0.75$ можно представить как $\frac{75}{100}$, что после сокращения равно $\frac{3}{4}$.
• Все бесконечные периодические десятичные дроби: например, $0.(3) = 0.333...$ можно представить как $\frac{1}{3}$, а $0.1(6) = 0.1666...$ можно представить как $\frac{1}{6}$.

Множество рациональных чисел обозначается символом $\mathbb{Q}$.

Ответ: Рациональные числа.

Числа, которые нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному

Такие числа называются иррациональными числами. Это действительные числа, которые не являются рациональными. Их невозможно записать в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$ и $q \in \mathbb{N}$.

Отличительной чертой иррациональных чисел является то, что их десятичное представление является бесконечным и непериодическим.

К иррациональным числам относятся:

• Корни из чисел, не являющихся точными степенями: например, $\sqrt{2} \approx 1.414213...$, $\sqrt{3} \approx 1.732050...$, $\sqrt[3]{5}$ и т.д.
• Многие математические константы: например, число $\pi$ (отношение длины окружности к ее диаметру) $\pi \approx 3.141592...$, число Эйлера $e$ (основание натурального логарифма) $e \approx 2.718281...$.

Множество иррациональных чисел вместе с множеством рациональных чисел образует полное множество действительных чисел.

Ответ: Иррациональные числа.

3. Приведите пример бесконечной десятичной дроби, которая является: а) рациональным числом; б) иррациональным числом.

3. а) 0,3333...=0,(3);

б) 8,0506070809010011...

а) рациональным числом

Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ – целое число, а $n$ – натуральное. При переводе в десятичную форму рациональное число представляется либо конечной, либо бесконечной периодической дробью. Поскольку в задаче требуется привести пример именно бесконечной дроби, мы должны выбрать бесконечную периодическую дробь.

Возьмем в качестве примера обыкновенную дробь $1/3$. Чтобы представить ее в виде десятичной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель: $1 \div 3 = 0.333...$ Это бесконечная десятичная дробь, в которой цифра 3 повторяется. Такие дроби называются периодическими и записываются с указанием периода в скобках: $0.(3)$. Так как число $0.(3)$ является десятичным представлением дроби $1/3$, оно рационально.

Ответ: $0.(3)$

б) иррациональным числом

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде дроби $m/n$. Десятичное представление иррационального числа всегда является бесконечной непериодической дробью. Это значит, что последовательность цифр после запятой никогда не заканчивается и в ней нет повторяющегося блока (периода).

Классическими примерами иррациональных чисел являются математические константы, такие как $\pi$ или $e$, а также корни из чисел, которые не являются точными квадратами. Например, $\sqrt{2}$: $\sqrt{2} = 1.4142135623...$ Последовательность цифр в этом числе бесконечна и не имеет периода.

Также можно самостоятельно сконструировать пример иррационального числа, создав закономерность, которая не приводит к периодичности. Например: $0.101001000100001...$ В этом числе количество нулей между единицами каждый раз увеличивается на один, что исключает возможность повторения какой-либо группы цифр.

Ответ: $1.41421356...$ (число $\sqrt{2}$)

4. Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. При каких значениях a выражение a имеет смысл?

4. Определение. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат
которого равен а.

При а≥0 выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл.

Сформулируйте определение арифметического квадратного корня.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Таким образом, запись $\sqrt{a} = b$ эквивалентна выполнению двух условий одновременно:

1. $b^2 = a$
2. $b \geq 0$

Из первого условия ($a = b^2$) и того факта, что квадрат любого действительного числа неотрицателен, следует, что и само подкоренное выражение $a$ также должно быть неотрицательным ($a \geq 0$).

Например, арифметический квадратный корень из 16 равен 4, что записывается как $\sqrt{16} = 4$, потому что $4^2 = 16$ и $4 \geq 0$. Хотя $(-4)^2$ также равно 16, число -4 не является арифметическим квадратным корнем, так как оно отрицательно.

Ответ: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

При каких значениях $a$ выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл?

Выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл в множестве действительных чисел тогда и только тогда, когда подкоренное выражение $a$ является неотрицательным.

Это требование вытекает непосредственно из определения арифметического квадратного корня. Если мы предположим, что $\sqrt{a} = b$, то по определению должно выполняться равенство $b^2 = a$. В области действительных чисел квадрат любого числа $b$ всегда больше или равен нулю ($b^2 \geq 0$). Следовательно, число $a$, равное $b^2$, также должно быть неотрицательным.

Таким образом, для того чтобы выражение $\sqrt{a}$ было определено (имело смысл), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство: $a \geq 0$

Ответ: Выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл при $a \geq 0$.

5. Имеет ли уравнение х² = а корни при а > 0, а = 0, а ‹ 0, и если имеет, то сколько?

5. Если а<0, то уравнение $x^2=a$ корней не имеет.

Если а=0, то уравнение имеет единственный корень, равный 0.

Если а>0, то уравнение имеет два корня.

при a > 0

Если $a$ — положительное число, то уравнение $x^2 = a$ имеет два различных действительных корня. Это связано с тем, что для любого положительного числа $a$ существуют два числа (положительное и отрицательное), квадрат которых равен $a$. Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$.
Ответ: уравнение имеет два корня.

при a = 0

Если $a = 0$, то уравнение принимает вид $x^2 = 0$. Единственное действительное число, квадрат которого равен нулю, — это сам ноль.
Ответ: уравнение имеет один корень ($x = 0$).

при a < 0

Если $a$ — отрицательное число, то уравнение $x^2 = a$ не имеет действительных корней. Квадрат любого действительного числа $x$ всегда является неотрицательным ($x^2 \ge 0$), в то время как правая часть уравнения $a$ по условию отрицательна. Равенство между неотрицательным и отрицательным числом невозможно.
Ответ: уравнение не имеет корней.

6. Какова область определения функции у = x?

6. Так как выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл при х≥0, то областью определения функции $y=\sqrt{x}$ служит множество неотрицательных чисел.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (в данном случае $x$), при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x}$. Эта функция содержит арифметический квадратный корень. По определению, в области действительных чисел арифметический квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Следовательно, подкоренное выражение, которым в данном случае является переменная $x$, должно быть больше или равно нулю. Запишем это условие в виде неравенства:

$x \ge 0$

Решением этого неравенства является множество всех чисел, которые не меньше нуля. Это множество можно представить в виде числового промежутка (луча), который начинается в точке 0 (включительно) и уходит в плюс бесконечность.

Ответ: $[0, +\infty)$

7. Как расположен график функции у = x в координатной плоскости? Пересекает ли этот график прямую у = 25; у = 100; у = 10 000?

7. Если х=0, то у=0, поэтому начало координат принадлежит графику функции.

Если х>0, то у>0; график расположен в первой координатной четверти.

Этот график пересекает прямые y=25, y=100, y=10000

Как расположен график функции $y = \sqrt{x}$ в координатной плоскости?

Для анализа расположения графика функции $y = \sqrt{x}$ рассмотрим ее основные свойства: область определения и область значений.

Область определения: Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Таким образом, переменная $x$ может принимать любые значения, для которых выполняется условие $x \ge 0$. Это означает, что график функции полностью расположен в правой полуплоскости (справа от оси Oy) и на самой оси Oy.

Область значений: По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа является неотрицательным числом. Следовательно, переменная $y$ может принимать любые значения, для которых выполняется условие $y \ge 0$. Это означает, что график функции полностью расположен в верхней полуплоскости (выше оси Ox) и на самой оси Ox.

Совместив оба условия, приходим к выводу, что график функции $y = \sqrt{x}$ целиком лежит в первой координатной четверти (I квадранте). График начинается в точке $(0; 0)$ (начало координат) и является плавно возрастающей кривой (ветвью параболы).

Ответ: График функции $y = \sqrt{x}$ расположен в первой координатной четверти, включая ее границы (неотрицательные части осей координат), и выходит из начала координат.

Пересекает ли этот график прямую $y = 25; y = 100; y = 10 000$?

Чтобы определить, пересекает ли график функции $y = \sqrt{x}$ горизонтальную прямую $y = c$, необходимо выяснить, имеет ли уравнение $\sqrt{x} = c$ решение. Решение существует, если значение $c$ принадлежит области значений функции $y = \sqrt{x}$, то есть если $c \ge 0$.

Все предложенные значения для $y$ (25, 100 и 10 000) являются положительными числами, поэтому все они входят в область значений функции. Следовательно, график функции $y = \sqrt{x}$ пересекает каждую из этих прямых. Найдем точные точки пересечения.

Для прямой $y = 25$:
Подставляем значение в уравнение функции: $\sqrt{x} = 25$.
Чтобы найти $x$, возводим обе части уравнения в квадрат: $x = 25^2 = 625$.
Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(625; 25)$.

Для прямой $y = 100$:
Подставляем значение в уравнение функции: $\sqrt{x} = 100$.
Возводим обе части в квадрат: $x = 100^2 = 10 000$.
Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(10 000; 100)$.

Для прямой $y = 10 000$:
Подставляем значение в уравнение функции: $\sqrt{x} = 10 000$.
Возводим обе части в квадрат: $x = (10 000)^2 = (10^4)^2 = 10^8 = 100 000 000$.
Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(100 000 000; 10 000)$.

Ответ: Да, график функции $y = \sqrt{x}$ пересекает все три заданные прямые в точках $(625; 25)$, $(10 000; 100)$ и $(100 000 000; 10 000)$ соответственно.