Номер 4, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 4, страница 85.

4. Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. При каких значениях a выражение a имеет смысл?

4. Определение. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат
которого равен а.

При а≥0 выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл.

Сформулируйте определение арифметического квадратного корня.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Таким образом, запись $\sqrt{a} = b$ эквивалентна выполнению двух условий одновременно:

1. $b^2 = a$
2. $b \geq 0$

Из первого условия ($a = b^2$) и того факта, что квадрат любого действительного числа неотрицателен, следует, что и само подкоренное выражение $a$ также должно быть неотрицательным ($a \geq 0$).

Например, арифметический квадратный корень из 16 равен 4, что записывается как $\sqrt{16} = 4$, потому что $4^2 = 16$ и $4 \geq 0$. Хотя $(-4)^2$ также равно 16, число -4 не является арифметическим квадратным корнем, так как оно отрицательно.

Ответ: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

При каких значениях $a$ выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл?

Выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл в множестве действительных чисел тогда и только тогда, когда подкоренное выражение $a$ является неотрицательным.

Это требование вытекает непосредственно из определения арифметического квадратного корня. Если мы предположим, что $\sqrt{a} = b$, то по определению должно выполняться равенство $b^2 = a$. В области действительных чисел квадрат любого числа $b$ всегда больше или равен нулю ($b^2 \geq 0$). Следовательно, число $a$, равное $b^2$, также должно быть неотрицательным.

Таким образом, для того чтобы выражение $\sqrt{a}$ было определено (имело смысл), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство: $a \geq 0$

Ответ: Выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл при $a \geq 0$.