Номер 7, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 7, страница 85.

7. Как расположен график функции у = x в координатной плоскости? Пересекает ли этот график прямую у = 25; у = 100; у = 10 000?

7. Если х=0, то у=0, поэтому начало координат принадлежит графику функции.

Если х>0, то у>0; график расположен в первой координатной четверти.

Этот график пересекает прямые y=25, y=100, y=10000

Как расположен график функции $y = \sqrt{x}$ в координатной плоскости?

Для анализа расположения графика функции $y = \sqrt{x}$ рассмотрим ее основные свойства: область определения и область значений.

Область определения: Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Таким образом, переменная $x$ может принимать любые значения, для которых выполняется условие $x \ge 0$. Это означает, что график функции полностью расположен в правой полуплоскости (справа от оси Oy) и на самой оси Oy.

Область значений: По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа является неотрицательным числом. Следовательно, переменная $y$ может принимать любые значения, для которых выполняется условие $y \ge 0$. Это означает, что график функции полностью расположен в верхней полуплоскости (выше оси Ox) и на самой оси Ox.

Совместив оба условия, приходим к выводу, что график функции $y = \sqrt{x}$ целиком лежит в первой координатной четверти (I квадранте). График начинается в точке $(0; 0)$ (начало координат) и является плавно возрастающей кривой (ветвью параболы).

Ответ: График функции $y = \sqrt{x}$ расположен в первой координатной четверти, включая ее границы (неотрицательные части осей координат), и выходит из начала координат.

Пересекает ли этот график прямую $y = 25; y = 100; y = 10 000$?

Чтобы определить, пересекает ли график функции $y = \sqrt{x}$ горизонтальную прямую $y = c$, необходимо выяснить, имеет ли уравнение $\sqrt{x} = c$ решение. Решение существует, если значение $c$ принадлежит области значений функции $y = \sqrt{x}$, то есть если $c \ge 0$.

Все предложенные значения для $y$ (25, 100 и 10 000) являются положительными числами, поэтому все они входят в область значений функции. Следовательно, график функции $y = \sqrt{x}$ пересекает каждую из этих прямых. Найдем точные точки пересечения.

Для прямой $y = 25$:
Подставляем значение в уравнение функции: $\sqrt{x} = 25$.
Чтобы найти $x$, возводим обе части уравнения в квадрат: $x = 25^2 = 625$.
Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(625; 25)$.

Для прямой $y = 100$:
Подставляем значение в уравнение функции: $\sqrt{x} = 100$.
Возводим обе части в квадрат: $x = 100^2 = 10 000$.
Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(10 000; 100)$.

Для прямой $y = 10 000$:
Подставляем значение в уравнение функции: $\sqrt{x} = 10 000$.
Возводим обе части в квадрат: $x = (10 000)^2 = (10^4)^2 = 10^8 = 100 000 000$.
Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(100 000 000; 10 000)$.

Ответ: Да, график функции $y = \sqrt{x}$ пересекает все три заданные прямые в точках $(625; 25)$, $(10 000; 100)$ и $(100 000 000; 10 000)$ соответственно.