Номер 365, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Квадратный корень из произведения и дроби. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 365, страница 88.

365. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{9·64·0,25}=\sqrt{9}·\sqrt{64}·\sqrt{0,25}=3·8·0,25=12$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{1,21·0,09·0,0001}=\sqrt{1,21}·\sqrt{0,09}·\sqrt{0,0001}= \\ =1,1·0,3·0,01=0,0033 \end{gathered}$$

в) $\sqrt{\frac{25}{81}·\frac{16}{49}·\frac{196}{9}}=\sqrt{\frac{25}{81}}·\sqrt{\frac{16}{49}}·\sqrt{\frac{196}{9}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}}·\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}}·\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{9}}=\frac{5}{9}·\frac{4}{7}·\frac{14}{3}= \\ =\frac{5·4·14}{9·7·3}=\frac{5·4·2}{9·1·3}=\frac{40}{27}=1\frac{13}{27} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{5\frac{1}{16}·2\frac{34}{81}}=\sqrt{\frac{81}{16}·\frac{196}{81}}= \\ =\sqrt{\frac{81}{16}}·\sqrt{\frac{196}{81}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}·\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{81}}= \\ =\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{16}}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}=3,5 \end{gathered}$$

а) $ \sqrt{9 \cdot 64 \cdot 0,25} $

Для решения данного примера воспользуемся свойством корня из произведения: корень из произведения нескольких неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. То есть $ \sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} $.

$ \sqrt{9 \cdot 64 \cdot 0,25} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{0,25} $

Вычислим значение каждого квадратного корня по отдельности:

$ \sqrt{9} = 3 $

$ \sqrt{64} = 8 $

$ \sqrt{0,25} = 0,5 $

Теперь перемножим полученные результаты:

$ 3 \cdot 8 \cdot 0,5 = 24 \cdot 0,5 = 12 $

Ответ: $12$

б) $ \sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001} $

Применяем то же свойство, что и в предыдущем примере:

$ \sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001} = \sqrt{1,21} \cdot \sqrt{0,09} \cdot \sqrt{0,0001} $

Находим значения корней, учитывая, что $ 11^2 = 121 $, $ 3^2 = 9 $ и $ 1^2=1 $:

$ \sqrt{1,21} = 1,1 $

$ \sqrt{0,09} = 0,3 $

$ \sqrt{0,0001} = 0,01 $

Перемножаем полученные значения:

$ 1,1 \cdot 0,3 \cdot 0,01 = 0,33 \cdot 0,01 = 0,0033 $

Ответ: $0,0033$

в) $ \sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}} $

Используем свойства корня из произведения и корня из дроби: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ и $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.

$ \sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}} = \sqrt{\frac{25}{81}} \cdot \sqrt{\frac{16}{49}} \cdot \sqrt{\frac{196}{9}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} \cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}} \cdot \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{9}} $

Вычисляем значения корней и получаем произведение дробей:

$ \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{14}{3} $

Перемножаем дроби. Перед умножением можно сократить $14$ и $7$ на $7$:

$ \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 14}{9 \cdot 7 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 2}{9 \cdot 3} = \frac{40}{27} $

Эту неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа $ 1\frac{13}{27} $.

Ответ: $ \frac{40}{27} $

г) $ \sqrt{5\frac{1}{16} \cdot 2\frac{34}{81}} $

В первую очередь преобразуем смешанные числа, стоящие под корнем, в неправильные дроби.

$ 5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16} $

$ 2\frac{34}{81} = \frac{2 \cdot 81 + 34}{81} = \frac{162 + 34}{81} = \frac{196}{81} $

Теперь подставим полученные дроби обратно в выражение:

$ \sqrt{\frac{81}{16} \cdot \frac{196}{81}} $

Можно сократить множители $81$ в числителе и знаменателе под знаком корня:

$ \sqrt{\frac{\cancel{81}}{16} \cdot \frac{196}{\cancel{81}}} = \sqrt{\frac{196}{16}} $

Извлекаем корень из числителя и знаменателя:

$ \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{16}} = \frac{14}{4} $

Сокращаем дробь и получаем конечный результат:

$ \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3,5 $

Ответ: $3,5$