Номер 367, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Квадратный корень из произведения и дроби. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 367, страница 89.

367. Вычислите значение корня:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{810·40}=\sqrt{81·10·40}=\sqrt{81·400}= \\ =\sqrt{81}·\sqrt{400}=9·20=180 \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{10·250}=\sqrt{10·25·10}=\sqrt{100·25}= \\ =\sqrt{100}·\sqrt{25}=10·5=50 \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} \sqrt{72·32}=\sqrt{36·2·32}=\sqrt{36·64}=\sqrt{36}·\sqrt{64}= \\ =6·8=48 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} \sqrt{8·98}=\sqrt{8·49·2}=\sqrt{16·49}=\sqrt{16}·\sqrt{49}= \\ =4·7=28 \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} \sqrt{50·18}=\sqrt{25·2·18}=\sqrt{25·36}=\sqrt{25}·\sqrt{36}= \\ =5·6=30 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\sqrt{2,5·14,4}=\sqrt{\frac{25}{10}·\frac{144}{10}}=\sqrt{\frac{25·144}{100}}= \\ =\frac{\sqrt{25·144}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{25}·\sqrt{144}}{10}=\frac{5·12}{10}=\frac{60}{10}=6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\sqrt{90·6,4}=\sqrt{\frac{900}{10}·\frac{64}{10}}=\sqrt{\frac{900·64}{100}}= \\ =\frac{\sqrt{900·64}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{900}·\sqrt{64}}{10}=\frac{30·8}{10}=3·8=24 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\sqrt{16,9·0,4}=\sqrt{\frac{169}{10}·\frac{4}{10}}=\sqrt{\frac{169·4}{100}}= \\ =\frac{\sqrt{169·4}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{169}·\sqrt{4}}{10}=\frac{13·2}{10}=\frac{26}{10}=2,6 \end{gathered}$$

а) Для вычисления значения корня из произведения воспользуемся свойством $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$). Разложим числа под корнем на множители, являющиеся полными квадратами.
$810 = 81 \cdot 10$
$40 = 4 \cdot 10$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\sqrt{810 \cdot 40} = \sqrt{(81 \cdot 10) \cdot (4 \cdot 10)} = \sqrt{81 \cdot 4 \cdot 100}$
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{81} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{100} = 9 \cdot 2 \cdot 10 = 180$
Ответ: 180

б) Разложим число 250 на удобные множители:
$250 = 25 \cdot 10$
Теперь подставим это в выражение под корнем:
$\sqrt{10 \cdot 250} = \sqrt{10 \cdot (25 \cdot 10)} = \sqrt{25 \cdot 100}$
Извлечем корень:
$\sqrt{25} \cdot \sqrt{100} = 5 \cdot 10 = 50$
Ответ: 50

в) Разложим числа 72 и 32 на множители так, чтобы выделить полные квадраты:
$72 = 36 \cdot 2$
$32 = 16 \cdot 2$
Перепишем выражение:
$\sqrt{72 \cdot 32} = \sqrt{(36 \cdot 2) \cdot (16 \cdot 2)} = \sqrt{36 \cdot 16 \cdot 4}$
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{36} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{4} = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48$
Ответ: 48

г) Разложим подкоренные множители:
$8 = 4 \cdot 2$
$98 = 49 \cdot 2$
Подставим разложение в выражение:
$\sqrt{8 \cdot 98} = \sqrt{(4 \cdot 2) \cdot (49 \cdot 2)} = \sqrt{4 \cdot 49 \cdot 4}$
Извлечем корни из полных квадратов:
$\sqrt{4} \cdot \sqrt{49} \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 7 \cdot 2 = 28$
Ответ: 28

д) Разложим числа 50 и 18 на множители:
$50 = 25 \cdot 2$
$18 = 9 \cdot 2$
Перепишем выражение под корнем:
$\sqrt{50 \cdot 18} = \sqrt{(25 \cdot 2) \cdot (9 \cdot 2)} = \sqrt{25 \cdot 9 \cdot 4}$
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{25} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{4} = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$
Ответ: 30

е) Представим десятичные дроби в виде обыкновенных дробей:
$2,5 = \frac{25}{10}$
$14,4 = \frac{144}{10}$
Тогда выражение можно записать так:
$\sqrt{2,5 \cdot 14,4} = \sqrt{\frac{25}{10} \cdot \frac{144}{10}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 144}{100}}$
Используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и свойство корня из произведения, получаем:
$\frac{\sqrt{25 \cdot 144}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{25} \cdot \sqrt{144}}{10} = \frac{5 \cdot 12}{10} = \frac{60}{10} = 6$
Ответ: 6

ж) Упростим подкоренное выражение, "переместив" множитель 10 от числа 90 к числу 6,4:
$\sqrt{90 \cdot 6,4} = \sqrt{(9 \cdot 10) \cdot 6,4} = \sqrt{9 \cdot (10 \cdot 6,4)} = \sqrt{9 \cdot 64}$
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{9} \cdot \sqrt{64} = 3 \cdot 8 = 24$
Ответ: 24

з) Представим десятичные дроби в виде обыкновенных дробей:
$16,9 = \frac{169}{10}$
$0,4 = \frac{4}{10}$
Подставим в выражение:
$\sqrt{16,9 \cdot 0,4} = \sqrt{\frac{169}{10} \cdot \frac{4}{10}} = \sqrt{\frac{169 \cdot 4}{100}}$
Используя свойства корней, получим:
$\frac{\sqrt{169} \cdot \sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{13 \cdot 2}{10} = \frac{26}{10} = 2,6$
Ответ: 2,6