Номер 370, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Квадратный корень из произведения и дроби. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 370, страница 89.

370. Извлеките корень:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{{17}^2-8^2}=\sqrt{(17-8)(17+8)}=\sqrt{9·25}= \\ =\sqrt{9}·\sqrt{25}=3·5=15 \end{gathered}$$

б) $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

в) $$\begin{gathered} \sqrt{{82}^2-{18}^2}=\sqrt{(82-18)(82+18)}= \\ =\sqrt{64·100}=\sqrt{64}·\sqrt{100}=8·10=80 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} \sqrt{{117}^2-{108}^2}=\sqrt{(117-108)(117+108)}= \\ =\sqrt{9·225}=\sqrt{9}·\sqrt{225}=3·15=45 \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} \sqrt{6,8^2-3,2^2}=\sqrt{(6,8-3,2)(6,8+3,2)}= \\ =\sqrt{3,6·10}=\sqrt{36}=6 \end{gathered}$$

е) $\sqrt{{\left(1\frac{1}{16}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\left(1\frac{1}{16}-\frac{1}{2}\right)\left(1\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\right)}=$
$$\begin{gathered} =\sqrt{\left(\frac{17}{16}-\frac{8}{16}\right)\left(\frac{17}{16}+\frac{8}{16}\right)}=\sqrt{\frac{9}{16}·\frac{25}{16}}= \\ =\sqrt{\frac{9}{16}}·\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{3}{4}·\frac{5}{4}=\frac{15}{16} \end{gathered}$$

а) Для извлечения корня из разности квадратов воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17-8)(17+8)} = \sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{225} = 15$.

Ответ: 15

б) В данном выражении под корнем находится сумма квадратов. В этом случае необходимо выполнить вычисления по порядку: сначала возведение в степень, а затем сложение.

$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5

в) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\sqrt{82^2 - 18^2} = \sqrt{(82-18)(82+18)} = \sqrt{64 \cdot 100} = \sqrt{6400} = 80$.

Ответ: 80

г) Снова используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\sqrt{117^2 - 108^2} = \sqrt{(117-108)(117+108)} = \sqrt{9 \cdot 225} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{225} = 3 \cdot 15 = 45$.

Ответ: 45

д) Применяем ту же формулу разности квадратов для десятичных дробей.

$\sqrt{6,8^2 - 3,2^2} = \sqrt{(6,8 - 3,2)(6,8 + 3,2)} = \sqrt{3,6 \cdot 10} = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: 6

е) Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную. Затем воспользуемся формулой разности квадратов.

$1\frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{17}{16}$.

Подставим значение в исходное выражение:

$\sqrt{\left(1\frac{1}{16}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{17}{16}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{17}{16} - \frac{1}{2}\right)\left(\frac{17}{16} + \frac{1}{2}\right)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 16, зная что $\frac{1}{2} = \frac{8}{16}$, и выполним вычисления:

$\sqrt{\left(\frac{17}{16} - \frac{8}{16}\right)\left(\frac{17}{16} + \frac{8}{16}\right)} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{25}{16}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 25}{16 \cdot 16}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{256}} = \frac{15}{16}$.

Ответ: $\frac{15}{16}$