Номер 374, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Квадратный корень из произведения и дроби. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 374, страница 89.

374. Укажите натуральные значения n, при которых n² - 75 является натуральным числом.

$\sqrt{n^2-75}$

Пусть $\sqrt{n^2-75}=m,$ где m∈N, тогда

$$\begin{gathered} n^2-75=m^2 \\ {n}^2-m^2=75 \\ (n-m)(n+m)=75 \end{gathered}$$

разложим число 75 на простые множители

$$\begin{gathered} \begin{array}{cc}75& 3\\ 25& 5\\ 5& 5\\ 1& \end{array} \\ 75=1·75=3·25=15·5=5·15=25·3=75·1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \left(n-m\right)\left(n+m\right)=1·75 \\ \left\{\begin{array}{l}n-m=1\\ n+m=75\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2n=76\\ n-m=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=38\\ 38-m=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=38\\ m=37\end{array}\right. \\ \mathbf{2}\mathbf{)} \left(n-m\right)\left(n+m\right)=3·25 \\ \left\{\begin{array}{l}n-m=3\\ n+m=25\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2n=28\\ n-m=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=14\\ 14-m=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=14\\ m=11\end{array}\right. \\ \mathbf{3}\mathbf{)} \left(n-m\right)\left(n+m\right)=15·5 \\ \left\{\begin{array}{l}n-m=15\\ n+m=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2n=20\\ n+m=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=10\\ 10+m=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=10\\ m=-5\notin N\end{array}\right. \\ \mathbf{4}\mathbf{)} \left(n-m\right)\left(n+m\right)=5·15 \\ \left\{\begin{array}{l}n-m=5\\ n+m=15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2n=20\\ n-m=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=10\\ 10-m=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=10\\ m=5\end{array}\right. \\ \mathbf{5}\mathbf{)} \left(n-m\right)\left(n+m\right)=25·3 \\ \left\{\begin{array}{l}n-m=25\\ n+m=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2n=28\\ n+m=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=14\\ 14+m=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=14\\ m=-11\notin N\end{array}\right. \\ \mathbf{6}\mathbf{)} \left(n-m\right)\left(n+m\right)=75·1 \\ \left\{\begin{array}{l}n-m=75\\ n+m=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2n=76\\ n+m=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=38\\ 38+m=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=38\\ m=-37\notin N\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: n=38; 14; 10

По условию задачи, $n$ — натуральное число, и выражение $\sqrt{n^2 - 75}$ также должно быть натуральным числом. Обозначим это натуральное число через $k$:

$\sqrt{n^2 - 75} = k$, где $k \in \mathbb{N}$.

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$n^2 - 75 = k^2$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы применить формулу разности квадратов:

$n^2 - k^2 = 75$

$(n - k)(n + k) = 75$

Поскольку $n$ и $k$ — натуральные числа, то множители $(n-k)$ и $(n+k)$ являются целыми делителями числа 75. Кроме того, должны выполняться следующие условия:

• Сумма $(n+k)$ является натуральным числом.
• Так как $k > 0$, то $n+k > n-k$.
• Поскольку произведение $(n-k)(n+k)$ положительно и $(n+k)$ положительно, то и $(n-k)$ должно быть положительным, то есть $n-k > 0$.

Таким образом, нам нужно найти такие пары натуральных множителей числа 75, которые мы обозначим $a$ и $b$, что $a \cdot b = 75$ и $a < b$.

Разложим число 75 на пары таких множителей:

• $1 \cdot 75$
• $3 \cdot 25$
• $5 \cdot 15$

Для каждой пары получаем систему уравнений: $\begin{cases} n - k = a \\ n + k = b \end{cases}$

Складывая эти два уравнения, получаем $2n = a+b$, откуда $n = \frac{a+b}{2}$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2k = b-a$, откуда $k = \frac{b-a}{2}$.

Теперь рассмотрим каждую пару множителей.

1. Пара 1 и 75.

Пусть $n-k = 1$ и $n+k = 75$.
$n = \frac{1+75}{2} = \frac{76}{2} = 38$
$k = \frac{75-1}{2} = \frac{74}{2} = 37$
Поскольку $n=38$ и $k=37$ являются натуральными числами, значение $n=38$ является решением.

2. Пара 3 и 25.

Пусть $n-k = 3$ и $n+k = 25$.
$n = \frac{3+25}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$k = \frac{25-3}{2} = \frac{22}{2} = 11$
Поскольку $n=14$ и $k=11$ являются натуральными числами, значение $n=14$ является решением.

3. Пара 5 и 15.

Пусть $n-k = 5$ и $n+k = 15$.
$n = \frac{5+15}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$k = \frac{15-5}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Поскольку $n=10$ и $k=5$ являются натуральными числами, значение $n=10$ является решением.

Мы рассмотрели все возможные пары множителей.

Ответ: 10, 14, 38.