Страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

366. Найдите значение корня:

a) $\sqrt{0,04·81·25}=\sqrt{0,04}·\sqrt{81}·\sqrt{25}=0,2·9·5=9$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{0,09·16·0,04}=\sqrt{0,09}·\sqrt{16}·\sqrt{0,04}= \\ =0,3·4·0,2=0,3·0,8=0,24 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{1\frac{7}{9}·\frac{4}{25}}=\sqrt{\frac{16}{9}·\frac{4}{25}}=\sqrt{\frac{16}{9}}·\sqrt{\frac{4}{25}}= \\ =\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}·\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{3}·\frac{2}{5}=\frac{8}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{\frac{121}{144}·2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{121}{144}·\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{121}{144}}·\sqrt{\frac{9}{4}}= \\ =\frac{11}{12}·\frac{3}{2}=\frac{11·1}{4·2}=\frac{11}{8}=1\frac{3}{8} \end{gathered}$$

а) Для нахождения значения корня воспользуемся свойством «корень из произведения равен произведению корней»: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.
$\sqrt{0,04 \cdot 81 \cdot 25} = \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{25}$.
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{0,04} = 0,2$
$\sqrt{81} = 9$
$\sqrt{25} = 5$
Перемножим полученные значения: $0,2 \cdot 9 \cdot 5 = 1,8 \cdot 5 = 9$.
Альтернативный способ — сгруппировать множители: $\sqrt{(0,04 \cdot 25) \cdot 81} = \sqrt{1 \cdot 81} = \sqrt{81} = 9$.
Ответ: 9.

б) Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.
$\sqrt{0,09 \cdot 16 \cdot 0,04} = \sqrt{0,09} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{0,04}$.
Извлекаем корень из каждого множителя по отдельности:
$\sqrt{0,09} = 0,3$
$\sqrt{16} = 4$
$\sqrt{0,04} = 0,2$
Теперь перемножим результаты: $0,3 \cdot 4 \cdot 0,2 = 1,2 \cdot 0,2 = 0,24$.
Ответ: 0,24.

в) Сначала представим смешанное число $1\frac{7}{9}$ в виде неправильной дроби:
$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.
Выражение примет вид: $\sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{4}{25}}$.
Используем свойство корня из произведения, а затем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{\frac{16}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5}$.
Перемножим полученные дроби: $\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{8}{15}$.

г) Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Выражение примет вид: $\sqrt{\frac{121}{144} \cdot \frac{9}{4}}$.
Применим свойство корня из произведения и корня из дроби:
$\sqrt{\frac{121}{144}} \cdot \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{144}} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{11}{12} \cdot \frac{3}{2}$.
Перемножим дроби: $\frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 2} = \frac{33}{24}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{33 \div 3}{24 \div 3} = \frac{11}{8}$.
Ответ: $\frac{11}{8}$.

367. Вычислите значение корня:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{810·40}=\sqrt{81·10·40}=\sqrt{81·400}= \\ =\sqrt{81}·\sqrt{400}=9·20=180 \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{10·250}=\sqrt{10·25·10}=\sqrt{100·25}= \\ =\sqrt{100}·\sqrt{25}=10·5=50 \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} \sqrt{72·32}=\sqrt{36·2·32}=\sqrt{36·64}=\sqrt{36}·\sqrt{64}= \\ =6·8=48 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} \sqrt{8·98}=\sqrt{8·49·2}=\sqrt{16·49}=\sqrt{16}·\sqrt{49}= \\ =4·7=28 \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} \sqrt{50·18}=\sqrt{25·2·18}=\sqrt{25·36}=\sqrt{25}·\sqrt{36}= \\ =5·6=30 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\sqrt{2,5·14,4}=\sqrt{\frac{25}{10}·\frac{144}{10}}=\sqrt{\frac{25·144}{100}}= \\ =\frac{\sqrt{25·144}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{25}·\sqrt{144}}{10}=\frac{5·12}{10}=\frac{60}{10}=6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\sqrt{90·6,4}=\sqrt{\frac{900}{10}·\frac{64}{10}}=\sqrt{\frac{900·64}{100}}= \\ =\frac{\sqrt{900·64}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{900}·\sqrt{64}}{10}=\frac{30·8}{10}=3·8=24 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\sqrt{16,9·0,4}=\sqrt{\frac{169}{10}·\frac{4}{10}}=\sqrt{\frac{169·4}{100}}= \\ =\frac{\sqrt{169·4}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{169}·\sqrt{4}}{10}=\frac{13·2}{10}=\frac{26}{10}=2,6 \end{gathered}$$

а) Для вычисления значения корня из произведения воспользуемся свойством $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$). Разложим числа под корнем на множители, являющиеся полными квадратами.
$810 = 81 \cdot 10$
$40 = 4 \cdot 10$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\sqrt{810 \cdot 40} = \sqrt{(81 \cdot 10) \cdot (4 \cdot 10)} = \sqrt{81 \cdot 4 \cdot 100}$
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{81} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{100} = 9 \cdot 2 \cdot 10 = 180$
Ответ: 180

б) Разложим число 250 на удобные множители:
$250 = 25 \cdot 10$
Теперь подставим это в выражение под корнем:
$\sqrt{10 \cdot 250} = \sqrt{10 \cdot (25 \cdot 10)} = \sqrt{25 \cdot 100}$
Извлечем корень:
$\sqrt{25} \cdot \sqrt{100} = 5 \cdot 10 = 50$
Ответ: 50

в) Разложим числа 72 и 32 на множители так, чтобы выделить полные квадраты:
$72 = 36 \cdot 2$
$32 = 16 \cdot 2$
Перепишем выражение:
$\sqrt{72 \cdot 32} = \sqrt{(36 \cdot 2) \cdot (16 \cdot 2)} = \sqrt{36 \cdot 16 \cdot 4}$
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{36} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{4} = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48$
Ответ: 48

г) Разложим подкоренные множители:
$8 = 4 \cdot 2$
$98 = 49 \cdot 2$
Подставим разложение в выражение:
$\sqrt{8 \cdot 98} = \sqrt{(4 \cdot 2) \cdot (49 \cdot 2)} = \sqrt{4 \cdot 49 \cdot 4}$
Извлечем корни из полных квадратов:
$\sqrt{4} \cdot \sqrt{49} \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 7 \cdot 2 = 28$
Ответ: 28

д) Разложим числа 50 и 18 на множители:
$50 = 25 \cdot 2$
$18 = 9 \cdot 2$
Перепишем выражение под корнем:
$\sqrt{50 \cdot 18} = \sqrt{(25 \cdot 2) \cdot (9 \cdot 2)} = \sqrt{25 \cdot 9 \cdot 4}$
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{25} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{4} = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$
Ответ: 30

е) Представим десятичные дроби в виде обыкновенных дробей:
$2,5 = \frac{25}{10}$
$14,4 = \frac{144}{10}$
Тогда выражение можно записать так:
$\sqrt{2,5 \cdot 14,4} = \sqrt{\frac{25}{10} \cdot \frac{144}{10}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 144}{100}}$
Используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и свойство корня из произведения, получаем:
$\frac{\sqrt{25 \cdot 144}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{25} \cdot \sqrt{144}}{10} = \frac{5 \cdot 12}{10} = \frac{60}{10} = 6$
Ответ: 6

ж) Упростим подкоренное выражение, "переместив" множитель 10 от числа 90 к числу 6,4:
$\sqrt{90 \cdot 6,4} = \sqrt{(9 \cdot 10) \cdot 6,4} = \sqrt{9 \cdot (10 \cdot 6,4)} = \sqrt{9 \cdot 64}$
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{9} \cdot \sqrt{64} = 3 \cdot 8 = 24$
Ответ: 24

з) Представим десятичные дроби в виде обыкновенных дробей:
$16,9 = \frac{169}{10}$
$0,4 = \frac{4}{10}$
Подставим в выражение:
$\sqrt{16,9 \cdot 0,4} = \sqrt{\frac{169}{10} \cdot \frac{4}{10}} = \sqrt{\frac{169 \cdot 4}{100}}$
Используя свойства корней, получим:
$\frac{\sqrt{169} \cdot \sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{13 \cdot 2}{10} = \frac{26}{10} = 2,6$
Ответ: 2,6

368. Найдите значение выражения:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{75·48}=\sqrt{25·3·16·3}=\sqrt{25·16·9}= \\ =\sqrt{25}·\sqrt{16}·\sqrt{9}=5·4·3=60 \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{45·80}=\sqrt{9·5·16·5}=\sqrt{9·16·25}= \\ =\sqrt{9}·\sqrt{16}·\sqrt{25}=3·4·5=60 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{4,9·360}=\sqrt{\frac{49}{10}·\frac{3600}{10}}=\sqrt{\frac{49·3600}{100}}= \\ =\frac{\sqrt{49·3600}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{49}·\sqrt{3600}}{10}=\frac{7·60}{10}=42 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{160·6,4}=\sqrt{\frac{1600}{10}·\frac{64}{10}}=\sqrt{\frac{1600·64}{100}}= \\ =\frac{\sqrt{1600·64}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{1600}·\sqrt{64}}{10}=\frac{40·8}{10}=32 \end{gathered}$$

а)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{75 \cdot 48} $ воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $. Чтобы упростить извлечение корня, разложим числа под корнем на множители, которые являются полными квадратами.

Разложим число 75 на множители: $ 75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3 $.

Разложим число 48 на множители: $ 48 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3 $.

Подставим разложения в исходное выражение:

$ \sqrt{75 \cdot 48} = \sqrt{(25 \cdot 3) \cdot (16 \cdot 3)} $

Сгруппируем множители, объединив одинаковые:

$ \sqrt{25 \cdot 16 \cdot (3 \cdot 3)} = \sqrt{25 \cdot 16 \cdot 9} $

Теперь применим свойство корня из произведения для каждого множителя:

$ \sqrt{25} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{9} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 $

Ответ: 60

б)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{45 \cdot 80} $ поступим аналогично: разложим подкоренные числа на множители.

Разложим число 45: $ 45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 $.

Разложим число 80: $ 80 = 16 \cdot 5 = 4^2 \cdot 5 $.

Подставим разложения в выражение:

$ \sqrt{45 \cdot 80} = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (16 \cdot 5)} $

Сгруппируем множители:

$ \sqrt{9 \cdot 16 \cdot (5 \cdot 5)} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 25} $

Используя свойство корня из произведения, получим:

$ \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60 $

Ответ: 60

в)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{4,9 \cdot 360} $ преобразуем произведение под корнем так, чтобы избавиться от десятичной дроби. Умножим первый множитель на 10, а второй разделим на 10, при этом значение произведения не изменится.

$ 4,9 \cdot 360 = (4,9 \cdot 10) \cdot (360 : 10) = 49 \cdot 36 $

Теперь выражение имеет вид:

$ \sqrt{49 \cdot 36} $

Воспользуемся свойством корня из произведения:

$ \sqrt{49} \cdot \sqrt{36} = 7 \cdot 6 = 42 $

Ответ: 42

г)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{160 \cdot 6,4} $ также преобразуем подкоренное выражение, чтобы избавиться от дроби.

$ 160 \cdot 6,4 = (16 \cdot 10) \cdot 6,4 = 16 \cdot (10 \cdot 6,4) = 16 \cdot 64 $

Подставим полученное произведение в исходное выражение:

$ \sqrt{16 \cdot 64} $

Применим свойство корня из произведения:

$ \sqrt{16} \cdot \sqrt{64} = 4 \cdot 8 = 32 $

Ответ: 32

369. Вычислите значение выражения:

a) $\sqrt{{13}^2-{12}^2}=\sqrt{(13-12)(13+12)}=\sqrt{1·25}=5$

б) $\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

в) $$\begin{gathered} \sqrt{{313}^2-{312}^2}=\sqrt{(313-312)(313+312)}= \\ =\sqrt{1·625}=25 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} \sqrt{{122}^2-{22}^2}=\sqrt{(122-22)(122+22)}= \\ =\sqrt{100·144}=\sqrt{100}·\sqrt{144}=10·12=120 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\sqrt{(45,8-44,2)(45,8+44,2)}=\sqrt{1,6·90}= \\ =\sqrt{\frac{16}{10}·\frac{900}{10}}=\frac{\sqrt{16·900}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{16}·\sqrt{900}}{10}= \\ =\frac{4·30}{10}=12 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\sqrt{21,8^2-18,2^2}= \\ =\sqrt{(21,8-18,2)(21,8+18,2)}=\sqrt{3,6·40}= \\ =\sqrt{\frac{36}{10}·\frac{400}{10}}=\frac{\sqrt{36·400}}{\sqrt{100}}= \\ =\frac{\sqrt{36}·\sqrt{400}}{10}=\frac{6·20}{10}=12 \end{gathered}$$

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{13^2 - 12^2}$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Подставим наши значения $a = 13$ и $b = 12$:
$\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{(13 - 12)(13 + 12)} = \sqrt{1 \cdot 25} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

б) В выражении $\sqrt{8^2 + 6^2}$ подкоренное выражение является суммой квадратов, поэтому сначала выполним действия возведения в степень, а затем сложение.
$8^2 = 64$
$6^2 = 36$
$\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: 10

в) Для вычисления значения выражения $\sqrt{313^2 - 312^2}$ снова применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$\sqrt{313^2 - 312^2} = \sqrt{(313 - 312)(313 + 312)} = \sqrt{1 \cdot 625} = \sqrt{625} = 25$.
Ответ: 25

г) Используем формулу разности квадратов для выражения $\sqrt{122^2 - 22^2}$.
$\sqrt{122^2 - 22^2} = \sqrt{(122 - 22)(122 + 22)} = \sqrt{100 \cdot 144} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{144} = 10 \cdot 12 = 120$.
Ответ: 120

д) Вычислим значение выражения $\sqrt{45,8^2 - 44,2^2}$, применив формулу разности квадратов.
$\sqrt{45,8^2 - 44,2^2} = \sqrt{(45,8 - 44,2)(45,8 + 44,2)} = \sqrt{1,6 \cdot 90} = \sqrt{144} = 12$.
Ответ: 12

е) Для выражения $\sqrt{21,8^2 - 18,2^2}$ также используем формулу разности квадратов.
$\sqrt{21,8^2 - 18,2^2} = \sqrt{(21,8 - 18,2)(21,8 + 18,2)} = \sqrt{3,6 \cdot 40} = \sqrt{144} = 12$.
Ответ: 12

370. Извлеките корень:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{{17}^2-8^2}=\sqrt{(17-8)(17+8)}=\sqrt{9·25}= \\ =\sqrt{9}·\sqrt{25}=3·5=15 \end{gathered}$$

б) $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

в) $$\begin{gathered} \sqrt{{82}^2-{18}^2}=\sqrt{(82-18)(82+18)}= \\ =\sqrt{64·100}=\sqrt{64}·\sqrt{100}=8·10=80 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} \sqrt{{117}^2-{108}^2}=\sqrt{(117-108)(117+108)}= \\ =\sqrt{9·225}=\sqrt{9}·\sqrt{225}=3·15=45 \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} \sqrt{6,8^2-3,2^2}=\sqrt{(6,8-3,2)(6,8+3,2)}= \\ =\sqrt{3,6·10}=\sqrt{36}=6 \end{gathered}$$

е) $\sqrt{{\left(1\frac{1}{16}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\left(1\frac{1}{16}-\frac{1}{2}\right)\left(1\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\right)}=$
$$\begin{gathered} =\sqrt{\left(\frac{17}{16}-\frac{8}{16}\right)\left(\frac{17}{16}+\frac{8}{16}\right)}=\sqrt{\frac{9}{16}·\frac{25}{16}}= \\ =\sqrt{\frac{9}{16}}·\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{3}{4}·\frac{5}{4}=\frac{15}{16} \end{gathered}$$

а) Для извлечения корня из разности квадратов воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17-8)(17+8)} = \sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{225} = 15$.

Ответ: 15

б) В данном выражении под корнем находится сумма квадратов. В этом случае необходимо выполнить вычисления по порядку: сначала возведение в степень, а затем сложение.

$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5

в) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\sqrt{82^2 - 18^2} = \sqrt{(82-18)(82+18)} = \sqrt{64 \cdot 100} = \sqrt{6400} = 80$.

Ответ: 80

г) Снова используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\sqrt{117^2 - 108^2} = \sqrt{(117-108)(117+108)} = \sqrt{9 \cdot 225} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{225} = 3 \cdot 15 = 45$.

Ответ: 45

д) Применяем ту же формулу разности квадратов для десятичных дробей.

$\sqrt{6,8^2 - 3,2^2} = \sqrt{(6,8 - 3,2)(6,8 + 3,2)} = \sqrt{3,6 \cdot 10} = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: 6

е) Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную. Затем воспользуемся формулой разности квадратов.

$1\frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{17}{16}$.

Подставим значение в исходное выражение:

$\sqrt{\left(1\frac{1}{16}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{17}{16}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{17}{16} - \frac{1}{2}\right)\left(\frac{17}{16} + \frac{1}{2}\right)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 16, зная что $\frac{1}{2} = \frac{8}{16}$, и выполним вычисления:

$\sqrt{\left(\frac{17}{16} - \frac{8}{16}\right)\left(\frac{17}{16} + \frac{8}{16}\right)} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{25}{16}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 25}{16 \cdot 16}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{256}} = \frac{15}{16}$.

Ответ: $\frac{15}{16}$

371. Представьте выражение в виде произведения корней:

a) $\sqrt{15}=\sqrt{3·5}=\sqrt{3}·\sqrt{5}$

б) $\sqrt{21}=\sqrt{3·7}=\sqrt{3}·\sqrt{7}$

в) $\sqrt{7a}=\sqrt{7}·\sqrt{a}$ при a≥0

г) $\sqrt{3c}=\sqrt{3}·\sqrt{c}$ при c≥0

а) Для того чтобы представить выражение $\sqrt{15}$ в виде произведения корней, необходимо разложить подкоренное выражение на множители. Число 15 можно представить как произведение простых множителей 3 и 5.
$15 = 3 \cdot 5$
Далее воспользуемся свойством корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$
Ответ: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$

б) Чтобы представить выражение $\sqrt{21}$ в виде произведения корней, разложим число 21 на множители. Простыми множителями числа 21 являются 3 и 7.
$21 = 3 \cdot 7$
Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}$
Ответ: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}$

в) Выражение под корнем $\sqrt{7a}$ уже представляет собой произведение двух множителей: 7 и $a$. Чтобы корень имел смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Так как 7 — положительное число, то и переменная $a$ должна быть неотрицательной ($a \ge 0$).
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt{7a} = \sqrt{7 \cdot a} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{a}$
Ответ: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{a}$

г) В выражении $\sqrt{3c}$ подкоренное выражение является произведением числа 3 и переменной $c$. По аналогии с предыдущим пунктом, для существования корня необходимо, чтобы $c \ge 0$.
Разложим корень из произведения на произведение корней:
$\sqrt{3c} = \sqrt{3 \cdot c} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{c}$
Ответ: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{c}$

372. Представьте выражение в виде частного корней:

a) $\sqrt{\frac{2}{7}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$

б) $\sqrt{\frac{3}{10}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

в) $\sqrt{\frac{5}{a}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}}$ при a>0

г) $\sqrt{\frac{b}{3}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{3}}$ при b≥0

Для решения этой задачи используется свойство корня из частного (или дроби). Это свойство гласит, что корень из частного равен частному корней из числителя и знаменателя. Математически это свойство записывается следующей формулой:

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Данная формула верна при условии, что подкоренное выражение в числителе неотрицательно ($a \ge 0$), а подкоренное выражение в знаменателе строго положительно ($b > 0$).

Применим это правило к каждому из представленных выражений.

а) Представим выражение $\sqrt{\frac{2}{7}}$ в виде частного корней.
Здесь числитель $2 > 0$ и знаменатель $7 > 0$, поэтому мы можем применить свойство корня из частного:
$\sqrt{\frac{2}{7}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$

б) Представим выражение $\sqrt{\frac{3}{10}}$ в виде частного корней.
Аналогично предыдущему пункту, так как $3 > 0$ и $10 > 0$:
$\sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

в) Представим выражение $\sqrt{\frac{5}{a}}$ в виде частного корней.
Чтобы выражение имело смысл и можно было применить свойство, необходимо, чтобы знаменатель был строго больше нуля, то есть $a > 0$.
При этом условии:
$\sqrt{\frac{5}{a}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}}$

г) Представим выражение $\sqrt{\frac{b}{3}}$ в виде частного корней.
Чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение в числителе было неотрицательным, то есть $b \ge 0$.
При этом условии:
$\sqrt{\frac{b}{3}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{3}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{3}}$

373. Докажите, что при любом неотрицательном a:

a) $10\sqrt{\frac{a}{100}}=10·\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{100}}=10·\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{10}}=\sqrt{a}$ при a≥0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\sqrt{a}=\frac{1}{10}\sqrt{100a}=\frac{1}{10}·\sqrt{100}·\sqrt{a}= \\ =\frac{1}{10}·10·\sqrt{a}=\sqrt{a} \text{при} a\ge 0 \end{gathered}$$

а) Для доказательства равенства $10\sqrt{\frac{a}{100}} = \sqrt{a}$ преобразуем его левую часть. Условие, что $a$ неотрицательно ($a \ge 0$), гарантирует корректность всех выполняемых операций с корнями.
Используем свойство корня из частного $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ (при $x \ge 0, y > 0$):
$10\sqrt{\frac{a}{100}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{100}}$
Так как $\sqrt{100} = 10$, подставим это значение в выражение:
$10 \cdot \frac{\sqrt{a}}{10} = \frac{10 \cdot \sqrt{a}}{10} = \sqrt{a}$
В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна правой.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Для доказательства равенства $\sqrt{a} = \frac{1}{10}\sqrt{100a}$ преобразуем его правую часть.
Используем свойство корня из произведения $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$):
$\frac{1}{10}\sqrt{100a} = \frac{1}{10} \cdot (\sqrt{100} \cdot \sqrt{a})$
Так как $\sqrt{100} = 10$, подставим это значение:
$\frac{1}{10} \cdot (10 \cdot \sqrt{a}) = \frac{10}{10} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a}$
В результате преобразований мы получили, что правая часть равенства равна левой.
Ответ: Что и требовалось доказать.

374. Укажите натуральные значения n, при которых n² - 75 является натуральным числом.

$\sqrt{n^2-75}$

Пусть $\sqrt{n^2-75}=m,$ где m∈N, тогда

$$\begin{gathered} n^2-75=m^2 \\ {n}^2-m^2=75 \\ (n-m)(n+m)=75 \end{gathered}$$

разложим число 75 на простые множители

$$\begin{gathered} \begin{array}{cc}75& 3\\ 25& 5\\ 5& 5\\ 1& \end{array} \\ 75=1·75=3·25=15·5=5·15=25·3=75·1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \left(n-m\right)\left(n+m\right)=1·75 \\ \left\{\begin{array}{l}n-m=1\\ n+m=75\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2n=76\\ n-m=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=38\\ 38-m=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=38\\ m=37\end{array}\right. \\ \mathbf{2}\mathbf{)} \left(n-m\right)\left(n+m\right)=3·25 \\ \left\{\begin{array}{l}n-m=3\\ n+m=25\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2n=28\\ n-m=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=14\\ 14-m=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=14\\ m=11\end{array}\right. \\ \mathbf{3}\mathbf{)} \left(n-m\right)\left(n+m\right)=15·5 \\ \left\{\begin{array}{l}n-m=15\\ n+m=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2n=20\\ n+m=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=10\\ 10+m=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=10\\ m=-5\notin N\end{array}\right. \\ \mathbf{4}\mathbf{)} \left(n-m\right)\left(n+m\right)=5·15 \\ \left\{\begin{array}{l}n-m=5\\ n+m=15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2n=20\\ n-m=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=10\\ 10-m=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=10\\ m=5\end{array}\right. \\ \mathbf{5}\mathbf{)} \left(n-m\right)\left(n+m\right)=25·3 \\ \left\{\begin{array}{l}n-m=25\\ n+m=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2n=28\\ n+m=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=14\\ 14+m=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=14\\ m=-11\notin N\end{array}\right. \\ \mathbf{6}\mathbf{)} \left(n-m\right)\left(n+m\right)=75·1 \\ \left\{\begin{array}{l}n-m=75\\ n+m=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2n=76\\ n+m=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=38\\ 38+m=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}n=38\\ m=-37\notin N\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: n=38; 14; 10

По условию задачи, $n$ — натуральное число, и выражение $\sqrt{n^2 - 75}$ также должно быть натуральным числом. Обозначим это натуральное число через $k$:

$\sqrt{n^2 - 75} = k$, где $k \in \mathbb{N}$.

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$n^2 - 75 = k^2$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы применить формулу разности квадратов:

$n^2 - k^2 = 75$

$(n - k)(n + k) = 75$

Поскольку $n$ и $k$ — натуральные числа, то множители $(n-k)$ и $(n+k)$ являются целыми делителями числа 75. Кроме того, должны выполняться следующие условия:

• Сумма $(n+k)$ является натуральным числом.
• Так как $k > 0$, то $n+k > n-k$.
• Поскольку произведение $(n-k)(n+k)$ положительно и $(n+k)$ положительно, то и $(n-k)$ должно быть положительным, то есть $n-k > 0$.

Таким образом, нам нужно найти такие пары натуральных множителей числа 75, которые мы обозначим $a$ и $b$, что $a \cdot b = 75$ и $a < b$.

Разложим число 75 на пары таких множителей:

• $1 \cdot 75$
• $3 \cdot 25$
• $5 \cdot 15$

Для каждой пары получаем систему уравнений: $\begin{cases} n - k = a \\ n + k = b \end{cases}$

Складывая эти два уравнения, получаем $2n = a+b$, откуда $n = \frac{a+b}{2}$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2k = b-a$, откуда $k = \frac{b-a}{2}$.

Теперь рассмотрим каждую пару множителей.

1. Пара 1 и 75.

Пусть $n-k = 1$ и $n+k = 75$.
$n = \frac{1+75}{2} = \frac{76}{2} = 38$
$k = \frac{75-1}{2} = \frac{74}{2} = 37$
Поскольку $n=38$ и $k=37$ являются натуральными числами, значение $n=38$ является решением.

2. Пара 3 и 25.

Пусть $n-k = 3$ и $n+k = 25$.
$n = \frac{3+25}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$k = \frac{25-3}{2} = \frac{22}{2} = 11$
Поскольку $n=14$ и $k=11$ являются натуральными числами, значение $n=14$ является решением.

3. Пара 5 и 15.

Пусть $n-k = 5$ и $n+k = 15$.
$n = \frac{5+15}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$k = \frac{15-5}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Поскольку $n=10$ и $k=5$ являются натуральными числами, значение $n=10$ является решением.

Мы рассмотрели все возможные пары множителей.

Ответ: 10, 14, 38.

375. Используя приближённое равенство 75≈ 8,7, найдите приближённое значение выражения:

$\sqrt{75}\approx 8,7$

a) $\sqrt{7500}=\sqrt{75·100}=\sqrt{75}·\sqrt{100}\approx 8,7·10=87$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{750000}=\sqrt{75·10000}=\sqrt{75}·\sqrt{10000}\approx \\ \approx 8,7·100=870 \end{gathered}$$

в) $\sqrt{0,75}=\sqrt{\frac{75}{100}}=\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{100}}\approx \frac{8,7}{10}=0,87$

г) $\sqrt{0,0075}=\sqrt{\frac{75}{10000}}=\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{10000}}\approx \frac{8,7}{100}=0,087$

а) Чтобы найти приближённое значение выражения $\sqrt{7500}$, мы можем представить подкоренное число $7500$ как произведение $75 \cdot 100$. Далее воспользуемся свойством квадратного корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
$\sqrt{7500} = \sqrt{75 \cdot 100} = \sqrt{75} \cdot \sqrt{100}$.
Согласно условию задачи, $\sqrt{75} \approx 8,7$. Также мы знаем, что $\sqrt{100} = 10$.
Подставим эти значения в наше выражение:
$\sqrt{75} \cdot \sqrt{100} \approx 8,7 \cdot 10 = 87$.
Ответ: $87$.

б) Для нахождения приближённого значения $\sqrt{750 \, 000}$ поступим аналогично. Представим $750 \, 000$ как $75 \cdot 10 \, 000$.
$\sqrt{750 \, 000} = \sqrt{75 \cdot 10 \, 000} = \sqrt{75} \cdot \sqrt{10 \, 000}$.
Мы знаем, что $\sqrt{75} \approx 8,7$ и $\sqrt{10 \, 000} = \sqrt{100^2} = 100$.
Выполним подстановку и вычислим результат:
$\sqrt{75} \cdot \sqrt{10 \, 000} \approx 8,7 \cdot 100 = 870$.
Ответ: $870$.

в) Чтобы найти приближённое значение $\sqrt{0,75}$, представим десятичную дробь $0,75$ в виде частного $\frac{75}{100}$. Далее воспользуемся свойством квадратного корня из частного: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\sqrt{0,75} = \sqrt{\frac{75}{100}} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{100}}$.
Подставим известные нам приближённое значение $\sqrt{75} \approx 8,7$ и точное значение $\sqrt{100} = 10$:
$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{100}} \approx \frac{8,7}{10} = 0,87$.
Ответ: $0,87$.

г) Для нахождения приближённого значения $\sqrt{0,0075}$ снова представим подкоренное выражение в виде частного. $0,0075 = \frac{75}{10 \, 000}$.
$\sqrt{0,0075} = \sqrt{\frac{75}{10 \, 000}} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{10 \, 000}}$.
Подставим известные значения $\sqrt{75} \approx 8,7$ и $\sqrt{10 \, 000} = 100$:
$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{10 \, 000}} \approx \frac{8,7}{100} = 0,087$.
Ответ: $0,087$.