Страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

362. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{100·49}=\sqrt{100}·\sqrt{49}=10·7=70$

б) $\sqrt{81·400}=\sqrt{81}·\sqrt{400}=9·20=180$

в) $\sqrt{64·121}=\sqrt{64}·\sqrt{121}=8·11=88$

г) $\sqrt{144·0,25}=\sqrt{144}·\sqrt{0,25}=12·0,5=6$

д) $\sqrt{0,01·169}=\sqrt{0,01}·\sqrt{169}=0,1·13=1,3$

е) $\sqrt{2,25·0,04}=\sqrt{2,25}·\sqrt{0,04}=1,5·0,2=0,3$

а) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством квадратного корня из произведения: корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел. Математически это записывается как $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Применяя это свойство, получаем:
$\sqrt{100 \cdot 49} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{49} = 10 \cdot 7 = 70$.
Ответ: 70

б) Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
$\sqrt{81 \cdot 400} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{400} = 9 \cdot 20 = 180$.
Ответ: 180

в) Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
$\sqrt{64 \cdot 121} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{121} = 8 \cdot 11 = 88$.
Ответ: 88

г) Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Обратим внимание, что один из множителей — десятичная дробь.
$\sqrt{144 \cdot 0,25} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{0,25} = 12 \cdot 0,5 = 6$.
Ответ: 6

д) Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
$\sqrt{0,01 \cdot 169} = \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{169} = 0,1 \cdot 13 = 1,3$.
Ответ: 1,3

е) Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
$\sqrt{2,25 \cdot 0,04} = \sqrt{2,25} \cdot \sqrt{0,04} = 1,5 \cdot 0,2 = 0,3$.
Ответ: 0,3

363. Вычислите значение корня:

a) $\sqrt{\frac{9}{64}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{64}}=\frac{3}{8}$

б) $\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}=\frac{6}{5}=1,2$

в) $\sqrt{\frac{121}{25}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{25}}=\frac{11}{5}=2,2$

г) $\sqrt{1\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$

д) $\sqrt{2\frac{7}{81}}=\sqrt{\frac{169}{81}}=\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{81}}=\frac{13}{9}=1\frac{4}{9}$

е) $\sqrt{5\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\frac{9}{4}=2,25$

а)

Для вычисления корня из дроби используется свойство корня из частного: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ для $a \ge 0$ и $b > 0$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{\frac{9}{64}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{64}}$

Поскольку $3^2 = 9$ и $8^2 = 64$, то $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{64} = 8$.

Таким образом, $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{64}} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$.

б)

Используем то же свойство корня из частного:

$\sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}$

Так как $6^2 = 36$ и $5^2 = 25$, то $\sqrt{36} = 6$ и $\sqrt{25} = 5$.

Следовательно, значение выражения равно $\frac{6}{5}$. Эту дробь можно представить в виде смешанного числа $1\frac{1}{5}$ или десятичной дроби $1.2$.

Ответ: $\frac{6}{5}$.

в)

Применяем свойство корня из частного:

$\sqrt{\frac{121}{25}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{25}}$

Поскольку $11^2 = 121$ и $5^2 = 25$, то $\sqrt{121} = 11$ и $\sqrt{25} = 5$.

В результате получаем дробь $\frac{11}{5}$, что эквивалентно $2\frac{1}{5}$ или $2.2$.

Ответ: $\frac{11}{5}$.

г)

Для вычисления корня из смешанного числа, сначала преобразуем его в неправильную дробь:

$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$

Теперь извлечем корень из полученной дроби:

$\sqrt{1\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$

Результат можно также записать как $1\frac{1}{4}$ или $1.25$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

д)

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{7}{81} = \frac{2 \cdot 81 + 7}{81} = \frac{162 + 7}{81} = \frac{169}{81}$

Теперь вычислим значение корня:

$\sqrt{2\frac{7}{81}} = \sqrt{\frac{169}{81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{81}}$

Так как $13^2 = 169$ и $9^2 = 81$, получаем $\frac{13}{9}$. В виде смешанного числа это $1\frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{13}{9}$.

е)

Сначала преобразуем смешанное число $5\frac{1}{16}$ в неправильную дробь:

$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$

Далее извлекаем квадратный корень:

$\sqrt{5\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4}$

Полученную дробь можно представить как $2\frac{1}{4}$ или $2.25$.

Ответ: $\frac{9}{4}$.

364. Найдите значение корня:

a) $\sqrt{81·900}=\sqrt{81}·\sqrt{900}=9·30=270$

б) $\sqrt{0,36·49}=\sqrt{0,36}·\sqrt{49}=0,6·7=4,2$

в) $\sqrt{12\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}=\frac{7}{2}=3,5$

г) $\sqrt{10\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{169}{16}}=\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}}=\frac{13}{4}=3\frac{1}{4}$

а) Для нахождения значения корня из произведения воспользуемся свойством $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
$\sqrt{81 \cdot 900} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{900}$
Известно, что $\sqrt{81} = 9$ и $\sqrt{900} = 30$.
Тогда, $9 \cdot 30 = 270$.
Ответ: 270

б) Используем то же свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
$\sqrt{0,36 \cdot 49} = \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{49}$
Находим значения корней: $\sqrt{0,36} = 0,6$ и $\sqrt{49} = 7$.
Перемножаем полученные значения: $0,6 \cdot 7 = 4,2$.
Ответ: 4,2

в) Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$12\frac{1}{4} = \frac{12 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{49}{4}$
Теперь нужно найти $\sqrt{\frac{49}{4}}$. Воспользуемся свойством корня из дроби: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}} = \frac{7}{2}$
Представим результат в виде десятичной дроби: $\frac{7}{2} = 3,5$.
Ответ: 3,5

г) Аналогично предыдущему пункту, преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$10\frac{9}{16} = \frac{10 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{160 + 9}{16} = \frac{169}{16}$
Теперь извлечем корень из полученной дроби, используя свойство корня из дроби:
$\sqrt{\frac{169}{16}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}}$
Мы знаем, что $\sqrt{169} = 13$ и $\sqrt{16} = 4$.
Получаем дробь $\frac{13}{4}$.
Преобразуем ее в десятичную дробь: $\frac{13}{4} = 3,25$.
Ответ: 3,25

365. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{9·64·0,25}=\sqrt{9}·\sqrt{64}·\sqrt{0,25}=3·8·0,25=12$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{1,21·0,09·0,0001}=\sqrt{1,21}·\sqrt{0,09}·\sqrt{0,0001}= \\ =1,1·0,3·0,01=0,0033 \end{gathered}$$

в) $\sqrt{\frac{25}{81}·\frac{16}{49}·\frac{196}{9}}=\sqrt{\frac{25}{81}}·\sqrt{\frac{16}{49}}·\sqrt{\frac{196}{9}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}}·\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}}·\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{9}}=\frac{5}{9}·\frac{4}{7}·\frac{14}{3}= \\ =\frac{5·4·14}{9·7·3}=\frac{5·4·2}{9·1·3}=\frac{40}{27}=1\frac{13}{27} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{5\frac{1}{16}·2\frac{34}{81}}=\sqrt{\frac{81}{16}·\frac{196}{81}}= \\ =\sqrt{\frac{81}{16}}·\sqrt{\frac{196}{81}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}·\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{81}}= \\ =\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{16}}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}=3,5 \end{gathered}$$

а) $ \sqrt{9 \cdot 64 \cdot 0,25} $

Для решения данного примера воспользуемся свойством корня из произведения: корень из произведения нескольких неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. То есть $ \sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} $.

$ \sqrt{9 \cdot 64 \cdot 0,25} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{0,25} $

Вычислим значение каждого квадратного корня по отдельности:

$ \sqrt{9} = 3 $

$ \sqrt{64} = 8 $

$ \sqrt{0,25} = 0,5 $

Теперь перемножим полученные результаты:

$ 3 \cdot 8 \cdot 0,5 = 24 \cdot 0,5 = 12 $

Ответ: $12$

б) $ \sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001} $

Применяем то же свойство, что и в предыдущем примере:

$ \sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001} = \sqrt{1,21} \cdot \sqrt{0,09} \cdot \sqrt{0,0001} $

Находим значения корней, учитывая, что $ 11^2 = 121 $, $ 3^2 = 9 $ и $ 1^2=1 $:

$ \sqrt{1,21} = 1,1 $

$ \sqrt{0,09} = 0,3 $

$ \sqrt{0,0001} = 0,01 $

Перемножаем полученные значения:

$ 1,1 \cdot 0,3 \cdot 0,01 = 0,33 \cdot 0,01 = 0,0033 $

Ответ: $0,0033$

в) $ \sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}} $

Используем свойства корня из произведения и корня из дроби: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ и $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.

$ \sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}} = \sqrt{\frac{25}{81}} \cdot \sqrt{\frac{16}{49}} \cdot \sqrt{\frac{196}{9}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} \cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}} \cdot \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{9}} $

Вычисляем значения корней и получаем произведение дробей:

$ \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{14}{3} $

Перемножаем дроби. Перед умножением можно сократить $14$ и $7$ на $7$:

$ \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 14}{9 \cdot 7 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 2}{9 \cdot 3} = \frac{40}{27} $

Эту неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа $ 1\frac{13}{27} $.

Ответ: $ \frac{40}{27} $

г) $ \sqrt{5\frac{1}{16} \cdot 2\frac{34}{81}} $

В первую очередь преобразуем смешанные числа, стоящие под корнем, в неправильные дроби.

$ 5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16} $

$ 2\frac{34}{81} = \frac{2 \cdot 81 + 34}{81} = \frac{162 + 34}{81} = \frac{196}{81} $

Теперь подставим полученные дроби обратно в выражение:

$ \sqrt{\frac{81}{16} \cdot \frac{196}{81}} $

Можно сократить множители $81$ в числителе и знаменателе под знаком корня:

$ \sqrt{\frac{\cancel{81}}{16} \cdot \frac{196}{\cancel{81}}} = \sqrt{\frac{196}{16}} $

Извлекаем корень из числителя и знаменателя:

$ \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{16}} = \frac{14}{4} $

Сокращаем дробь и получаем конечный результат:

$ \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3,5 $

Ответ: $3,5$