Номер 363, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Квадратный корень из произведения и дроби. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 363, страница 88.

363. Вычислите значение корня:

a) $\sqrt{\frac{9}{64}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{64}}=\frac{3}{8}$

б) $\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}=\frac{6}{5}=1,2$

в) $\sqrt{\frac{121}{25}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{25}}=\frac{11}{5}=2,2$

г) $\sqrt{1\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$

д) $\sqrt{2\frac{7}{81}}=\sqrt{\frac{169}{81}}=\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{81}}=\frac{13}{9}=1\frac{4}{9}$

е) $\sqrt{5\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\frac{9}{4}=2,25$

а)

Для вычисления корня из дроби используется свойство корня из частного: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ для $a \ge 0$ и $b > 0$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{\frac{9}{64}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{64}}$

Поскольку $3^2 = 9$ и $8^2 = 64$, то $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{64} = 8$.

Таким образом, $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{64}} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$.

б)

Используем то же свойство корня из частного:

$\sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}$

Так как $6^2 = 36$ и $5^2 = 25$, то $\sqrt{36} = 6$ и $\sqrt{25} = 5$.

Следовательно, значение выражения равно $\frac{6}{5}$. Эту дробь можно представить в виде смешанного числа $1\frac{1}{5}$ или десятичной дроби $1.2$.

Ответ: $\frac{6}{5}$.

в)

Применяем свойство корня из частного:

$\sqrt{\frac{121}{25}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{25}}$

Поскольку $11^2 = 121$ и $5^2 = 25$, то $\sqrt{121} = 11$ и $\sqrt{25} = 5$.

В результате получаем дробь $\frac{11}{5}$, что эквивалентно $2\frac{1}{5}$ или $2.2$.

Ответ: $\frac{11}{5}$.

г)

Для вычисления корня из смешанного числа, сначала преобразуем его в неправильную дробь:

$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$

Теперь извлечем корень из полученной дроби:

$\sqrt{1\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$

Результат можно также записать как $1\frac{1}{4}$ или $1.25$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

д)

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{7}{81} = \frac{2 \cdot 81 + 7}{81} = \frac{162 + 7}{81} = \frac{169}{81}$

Теперь вычислим значение корня:

$\sqrt{2\frac{7}{81}} = \sqrt{\frac{169}{81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{81}}$

Так как $13^2 = 169$ и $9^2 = 81$, получаем $\frac{13}{9}$. В виде смешанного числа это $1\frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{13}{9}$.

е)

Сначала преобразуем смешанное число $5\frac{1}{16}$ в неправильную дробь:

$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$

Далее извлекаем квадратный корень:

$\sqrt{5\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4}$

Полученную дробь можно представить как $2\frac{1}{4}$ или $2.25$.

Ответ: $\frac{9}{4}$.