Номер 2, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 2, страница 85.

2. Какие действительные числа можно и какие нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному?

2. Бесконечные десятичные периодические дроби (рациональные числа) можно представить в виде отношения целого числа к натуральному.

Бесконечные десятичные непериодические дроби (иррациональные числа) нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному.

Множество всех действительных чисел ($ \mathbb{R} $) можно разделить на две большие группы в зависимости от того, можно ли их представить в виде отношения целого числа к натуральному.

Числа, которые можно представить в виде отношения целого числа к натуральному

Такие числа называются рациональными числами. По определению, любое рациональное число $r$ может быть записано в виде дроби: $ r = \frac{p}{q} $ где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$).

К рациональным числам относятся:

• Все целые числа: например, $5$ можно представить как $\frac{5}{1}$, а $-12$ как $\frac{-12}{1}$.
• Все конечные десятичные дроби: например, $0.75$ можно представить как $\frac{75}{100}$, что после сокращения равно $\frac{3}{4}$.
• Все бесконечные периодические десятичные дроби: например, $0.(3) = 0.333...$ можно представить как $\frac{1}{3}$, а $0.1(6) = 0.1666...$ можно представить как $\frac{1}{6}$.

Множество рациональных чисел обозначается символом $\mathbb{Q}$.

Ответ: Рациональные числа.

Числа, которые нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному

Такие числа называются иррациональными числами. Это действительные числа, которые не являются рациональными. Их невозможно записать в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$ и $q \in \mathbb{N}$.

Отличительной чертой иррациональных чисел является то, что их десятичное представление является бесконечным и непериодическим.

К иррациональным числам относятся:

• Корни из чисел, не являющихся точными степенями: например, $\sqrt{2} \approx 1.414213...$, $\sqrt{3} \approx 1.732050...$, $\sqrt[3]{5}$ и т.д.
• Многие математические константы: например, число $\pi$ (отношение длины окружности к ее диаметру) $\pi \approx 3.141592...$, число Эйлера $e$ (основание натурального логарифма) $e \approx 2.718281...$.

Множество иррациональных чисел вместе с множеством рациональных чисел образует полное множество действительных чисел.

Ответ: Иррациональные числа.