Номер 358, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Функция y = √x и её график. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 358, страница 85.

358. Расположите в порядке возрастания числа:

a) $\sqrt{0,07}; \sqrt{0,6}; \sqrt{2,3}; \sqrt{16,4}; \sqrt{19,5}$

б) $\frac{1}{9}=\sqrt{\frac{1}{81}}; 2\frac{1}{7}=\frac{15}{7}=\sqrt{\frac{225}{49}}=\sqrt{4\frac{29}{49}}$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{81}}; \sqrt{\frac{1}{3}}; \sqrt{0,5}; \sqrt{2\frac{1}{9}}; \sqrt{4\frac{29}{49}} \\ \frac{1}{9}; \sqrt{\frac{1}{3}}; \sqrt{0,5}; \sqrt{2\frac{1}{9}}; 2\frac{1}{7} \end{gathered}$$

а) Чтобы расположить числа $\sqrt{2,3}$, $\sqrt{16,4}$, $\sqrt{19,5}$, $\sqrt{0,6}$, $\sqrt{0,07}$ в порядке возрастания, нужно сравнить их подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для неотрицательных значений $x$, это означает, что чем больше значение подкоренного выражения, тем больше значение самого корня.

Сравним подкоренные выражения: $2,3$, $16,4$, $19,5$, $0,6$, $0,07$.

Расположим эти числа в порядке возрастания:

$0,07 < 0,6 < 2,3 < 16,4 < 19,5$.

Следовательно, квадратные корни из этих чисел будут расположены в том же порядке:

$\sqrt{0,07} < \sqrt{0,6} < \sqrt{2,3} < \sqrt{16,4} < \sqrt{19,5}$.

Ответ: $\sqrt{0,07}, \sqrt{0,6}, \sqrt{2,3}, \sqrt{16,4}, \sqrt{19,5}$.

б) Чтобы расположить числа $\sqrt{0,5}$, $\frac{1}{9}$, $\sqrt{\frac{1}{3}}$, $2\frac{1}{7}$, $\sqrt{2\frac{1}{9}}$ в порядке возрастания, приведем их к одному виду. Так как все числа в задании положительные, мы можем сравнить их квадраты. Для положительных чисел, если $a < b$, то $a^2 < b^2$.

Найдем квадраты каждого из данных чисел:

$(\sqrt{0,5})^2 = 0,5 = \frac{1}{2}$

$(\frac{1}{9})^2 = \frac{1}{81}$

$(\sqrt{\frac{1}{3}})^2 = \frac{1}{3}$

$(2\frac{1}{7})^2 = (\frac{15}{7})^2 = \frac{225}{49}$

$(\sqrt{2\frac{1}{9}})^2 = 2\frac{1}{9} = \frac{19}{9}$

Теперь необходимо сравнить полученные квадраты: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{81}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{225}{49}$, $\frac{19}{9}$.

Оценим величину каждого из этих чисел, представив их в виде десятичных дробей или смешанных чисел:

• $\frac{1}{81} \approx 0,012$
• $\frac{1}{3} \approx 0,333$
• $\frac{1}{2} = 0,5$
• $\frac{19}{9} = 2\frac{1}{9} \approx 2,111$
• $\frac{225}{49} = 4\frac{29}{49} \approx 4,592$

Расположим квадраты чисел в порядке возрастания:

$\frac{1}{81} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{19}{9} < \frac{225}{49}$.

Этот порядок соответствует следующему порядку исходных чисел:

$\frac{1}{9} < \sqrt{\frac{1}{3}} < \sqrt{0,5} < \sqrt{2\frac{1}{9}} < 2\frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{9}, \sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt{0,5}, \sqrt{2\frac{1}{9}}, 2\frac{1}{7}$.