Номер 1, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 1, страница 85.

1. Какие числа образуют множество действительных чисел?

1. множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Множество действительных чисел (также их называют вещественными), обозначаемое символом $ \mathbb{R} $, представляет собой объединение двух больших классов чисел: рациональных и иррациональных. Совокупность этих чисел полностью заполняет числовую прямую, то есть каждой точке на прямой соответствует уникальное действительное число, и наоборот, каждому действительному числу соответствует единственная точка на прямой.

Рассмотрим эти классы чисел подробнее.

Рациональные числа ($ \mathbb{Q} $)

Это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{m}{n} $, где числитель $ m $ — это целое число ($ m \in \mathbb{Z} $), а знаменатель $ n $ — натуральное число ($ n \in \mathbb{N} $). При переводе в десятичную форму рациональное число будет либо конечной десятичной дробью, либо бесконечной периодической дробью.

Множество рациональных чисел включает в себя:

• Натуральные числа ($ \mathbb{N} $): числа, которые мы используем для счета (1, 2, 3, 10, 100, ...). Любое натуральное число $ n $ является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $ \frac{n}{1} $.
• Целые числа ($ \mathbb{Z} $): это все натуральные числа, числа им противоположные (отрицательные целые) и ноль (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). Любое целое число $ z $ можно представить как $ \frac{z}{1} $.
• Дробные числа: это все остальные рациональные числа, которые не являются целыми. Например: $ \frac{1}{2} = 0.5 $, $ -\frac{3}{4} = -0.75 $, $ \frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3) $.

Иррациональные числа ($ \mathbb{I} $)

Это числа, которые невозможно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $. Их десятичное представление всегда является бесконечной непериодической дробью.

Примеры иррациональных чисел:

• Арифметические корни из чисел, которые не являются точными квадратами, кубами и т.д. Например: $ \sqrt{2} \approx 1.41421356... $, $ \sqrt{7} $, $ \sqrt[3]{5} $.
• Всемирно известные математические константы, такие как число Пи ($ \pi \approx 3.14159265... $) и число Эйлера (основание натурального логарифма) ($ e \approx 2.71828182... $).

Таким образом, объединив все рациональные и все иррациональные числа, мы получаем множество действительных чисел. Математически это записывается так: $ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $.

Ответ: Множество действительных чисел образуют все рациональные и все иррациональные числа.