Номер 357, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Функция y = √x и её график. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 357, страница 85.

357. Сравните числа:

a) $\sqrt{27}<\sqrt{28}$

б) $\sqrt{1,3}<\sqrt{1,5}$

в) $\sqrt{7}<3, \sqrt{7}<\sqrt{9}$

г) $\sqrt{6,25}=2,5$

д) $\sqrt{\frac{1}{5}}>\sqrt{\frac{1}{6}}$

е) $\sqrt{0,8}<1$

ж) $\sqrt{0,18}>0,4; \sqrt{0,18}>\sqrt{0,16}$

з) $\sqrt{\frac{4}{5}}<\sqrt{\frac{5}{6}}; \frac{4}{5}<\frac{5}{6}; \frac{24}{30}<\frac{25}{30}$

и) $\sqrt{3,5}<\sqrt{3\frac{2}{3}}; 3,5<3\frac{2}{3}; 3\frac{1}{2}<3\frac{2}{3}; 3\frac{3}{6}<3\frac{4}{6}$

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt{27}$ и $\sqrt{28}$, нужно сравнить их подкоренные выражения. Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех неотрицательных $x$, то большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Сравниваем числа 27 и 28. Так как $27 < 28$, то и $\sqrt{27} < \sqrt{28}$.
Ответ: $\sqrt{27} < \sqrt{28}$.

б) Для сравнения чисел $\sqrt{1,3}$ и $\sqrt{1,5}$ также сравниваем их подкоренные выражения. Так как $1,3 < 1,5$, то $\sqrt{1,3} < \sqrt{1,5}$.
Ответ: $\sqrt{1,3} < \sqrt{1,5}$.

в) Чтобы сравнить $\sqrt{7}$ и 3, представим число 3 в виде квадратного корня. Поскольку $3^2 = 9$, то $3 = \sqrt{9}$. Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt{7}$ и $\sqrt{9}$. Так как $7 < 9$, то $\sqrt{7} < \sqrt{9}$, а значит $\sqrt{7} < 3$.
Ответ: $\sqrt{7} < 3$.

г) Сравним числа $\sqrt{6,25}$ и 2,5. Для этого можно либо извлечь корень из 6,25, либо возвести 2,5 в квадрат. Возведем 2,5 в квадрат: $2,5^2 = 6,25$. Получаем, что $\sqrt{6,25} = \sqrt{2,5^2} = 2,5$. Следовательно, числа равны.
Ответ: $\sqrt{6,25} = 2,5$.

д) Сравним $\sqrt{\frac{1}{5}}$ и $\sqrt{\frac{1}{6}}$. Для этого сравним подкоренные дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Приведем их к общему знаменателю 30: $\frac{1}{5} = \frac{6}{30}$ и $\frac{1}{6} = \frac{5}{30}$. Так как $\frac{6}{30} > \frac{5}{30}$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{5}} > \sqrt{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{5}} > \sqrt{\frac{1}{6}}$.

е) Чтобы сравнить $\sqrt{0,8}$ и 1, представим 1 в виде корня: $1 = \sqrt{1^2} = \sqrt{1}$. Теперь сравним $\sqrt{0,8}$ и $\sqrt{1}$. Так как $0,8 < 1$, то $\sqrt{0,8} < \sqrt{1}$, следовательно $\sqrt{0,8} < 1$.
Ответ: $\sqrt{0,8} < 1$.

ж) Сравним $\sqrt{0,18}$ и 0,4. Так как оба числа неотрицательны, мы можем сравнить их квадраты. $(\sqrt{0,18})^2 = 0,18$. $(0,4)^2 = 0,16$. Сравниваем результаты: $0,18 > 0,16$. Следовательно, и исходные числа находятся в том же соотношении: $\sqrt{0,18} > 0,4$.
Ответ: $\sqrt{0,18} > 0,4$.

з) Сравним $\sqrt{\frac{4}{5}}$ и $\sqrt{\frac{5}{6}}$. Сравним подкоренные выражения $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 30: $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30}$ и $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}$. Так как $24 < 25$, то $\frac{24}{30} < \frac{25}{30}$, а значит $\frac{4}{5} < \frac{5}{6}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{4}{5}} < \sqrt{\frac{5}{6}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{4}{5}} < \sqrt{\frac{5}{6}}$.

и) Сравним $\sqrt{3,5}$ и $\sqrt{3\frac{2}{3}}$. Сравним подкоренные выражения $3,5$ и $3\frac{2}{3}$. Для удобства сравнения переведем оба числа в неправильные дроби. $3,5 = 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$. $3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$. Теперь приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{7}{2} = \frac{21}{6}$ и $\frac{11}{3} = \frac{22}{6}$. Так как $21 < 22$, то $\frac{21}{6} < \frac{22}{6}$, что означает $3,5 < 3\frac{2}{3}$. Следовательно, $\sqrt{3,5} < \sqrt{3\frac{2}{3}}$.
Ответ: $\sqrt{3,5} < \sqrt{3\frac{2}{3}}$.