Номер 352, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Функция y = √x и её график. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 352, страница 84.

352. Докажите, что графики функций y = x и y = x + 0,5 не имеют общих точек.

$$\begin{gathered} y=\sqrt{x}; y=x+0,5 \\ \sqrt{x}=x+0,5 \\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2={\left(x+0,5\right)}^2 \\ x=x^2+x+0,25 \\ {x}^2+x-x+0,25=0 \\ {x}^2+0,25=0 \\ {x}^2=-0,25 \end{gathered}$$

Уравнение не имеет корней, значит, графики данных функций не имеют общих точек

Для того чтобы доказать, что графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 0,5$ не имеют общих точек, нужно показать, что система уравнений, составленная из этих функций, не имеет решений.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы (координаты $x$) возможных точек пересечения:

$\sqrt{x} = x + 0,5$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Кроме того, значение квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x + 0,5 \ge 0$, что означает $x \ge -0,5$. Пересечением этих двух условий является $x \ge 0$.

Поскольку обе части уравнения неотрицательны в области допустимых значений, мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (x + 0,5)^2$

$x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 0,5 + (0,5)^2$

$x = x^2 + x + 0,25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x - x + 0,25 = 0$

$x^2 + 0,25 = 0$

Чтобы определить, имеет ли это уравнение действительные корни, найдем его дискриминант. Уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=0$, $c=0,25$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,25 = 0 - 1 = -1$

Так как дискриминант $D = -1$ меньше нуля ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Поскольку уравнение для нахождения абсцисс точек пересечения не имеет решений, то графики заданных функций не имеют общих точек.

Ответ: Так как уравнение $\sqrt{x} = x + 0,5$ не имеет действительных корней, графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 0,5$ не имеют общих точек, что и требовалось доказать.