Номер 355, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Функция y = √x и её график. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 355, страница 84.

355. Решите графически уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }\sqrt{x}=6-x \\ y=\sqrt{x}, x\ge 0 \end{gathered}$$

x	0	1	4	9
y	0	1	2	3

y=6-x

x	6	0
y	0	6

x=4

Ответ: 4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\sqrt{x}=\frac{4}{x} \\ y=\sqrt{x}, x\ge 0 \end{gathered}$$

x	0	1	4	9
y	0	1	2	3

$y=\frac{4}{x}$

x	1	2	4	-1	-2	-4
y	4	2	1	-4	-2	-1

Ответ: ≈2,6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }-x-5=\sqrt{x} \\ y=\sqrt{x}, x\ge 0 \end{gathered}$$

x	0	1	4	9
y	0	1	2	3

y=-x-5

x	0	-5
y	-5	0

Для графического решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков являются решениями уравнения.

а) $\sqrt{x} = 6 - x$

Рассмотрим две функции: $y = \sqrt{x}$ и $y = 6 - x$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 0$. Построим его по точкам:
(0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3).

2. График функции $y = 6 - x$ — это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек, например, точек пересечения с осями координат:
Если $x=0$, то $y = 6$. Точка (0, 6).
Если $y=0$, то $x = 6$. Точка (6, 0).

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Из графика видно, что графики функций пересекаются в одной точке. Определим её координаты. По графику видно, что точка пересечения имеет координаты (4, 2). Абсцисса этой точки равна 4.

Выполним проверку, подставив $x=4$ в исходное уравнение:
$\sqrt{4} = 6 - 4$
$2 = 2$
Равенство верное, значит, $x=4$ является корнем уравнения.

Ответ: $x=4$.

б) $\sqrt{x} = \frac{4}{x}$

Рассмотрим две функции: $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{4}{x}$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Область определения: $x \ge 0$.

2. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Поскольку область определения функции $y=\sqrt{x}$ есть $x \ge 0$, нас интересует только та часть графика $y=\frac{4}{x}$, где $x > 0$. Это ветвь гиперболы в первой четверти. Построим её по точкам:
(1, 4), (2, 2), (4, 1), (8, 0.5).

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей при $x > 0$, а функция $y = \frac{4}{x}$ — убывающей при $x > 0$. Следовательно, их графики могут пересечься не более одного раза. Из графика видно, что они пересекаются в одной точке, абсцисса которой находится между 2 и 3.

Графический метод в данном случае позволяет найти лишь приблизительное решение. Для нахождения точного решения преобразуем уравнение алгебраически (учитывая, что $x>0$):
$\sqrt{x} = \frac{4}{x}$
Возведем обе части в квадрат:
$x = \frac{16}{x^2}$
$x^3 = 16$
$x = \sqrt[3]{16}$
Так как $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то $2 < \sqrt[3]{16} < 3$, что соответствует графическому изображению. $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2} \approx 2.52$.

Ответ: $x=\sqrt[3]{16}$.

в) $-x - 5 = \sqrt{x}$

Рассмотрим две функции: $y = \sqrt{x}$ и $y = -x - 5$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы. Область определения $D(y): x \ge 0$. Область значений $E(y): y \ge 0$. Это означает, что график целиком лежит в верхней полуплоскости (и включает начало координат).

2. График функции $y = -x - 5$ — это прямая линия. Построим её по точкам:
Если $x=0$, то $y = -5$. Точка (0, -5).
Если $x=-5$, то $y = 0$. Точка (-5, 0).

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Проанализируем области значений функций. Для $y = \sqrt{x}$ все значения неотрицательны ($y \ge 0$). Для функции $y = -x - 5$ на области определения $x \ge 0$ (где существует $\sqrt{x}$), её значения будут: $y = -x - 5 \le -0 - 5 = -5$.
Таким образом, для любого $x \ge 0$, левая часть уравнения $(-x-5)$ всегда отрицательна (точнее, меньше либо равна -5), а правая часть $(\sqrt{x})$ всегда неотрицательна. Равенство между ними невозможно.
На графике видно, что кривая $y=\sqrt{x}$ и прямая $y=-x-5$ не имеют точек пересечения.

Ответ: решений нет.