Номер 353, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Функция y = √x и её график. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 353, страница 84.

353. (Для работы в парах.) Имеют ли общие точки графики функций:

При положительном ответе укажите координаты этих точек.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки.

3) Приведите примеры линейных функций, графики которых: не пересекают график функции y =x; пересекают его в одной точке; пересекают его в двух точках. Обсудите правильность этих примеров.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}y=\sqrt{x} \text{и} y=x \\ \sqrt{x}=x \\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2=x^2 \\ x=x^2 \\ x-x^2=0 \\ x(1-x)=0 \\ \begin{array}{ccc}x=0& \text{или}& 1-x=0\\ & & x=1\end{array} \end{gathered}$$

Если x=0, то y=0

Если x=1, то y=1

Ответ: две общие точки (1;1) и (0;0)

 

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\sqrt{x} \text{и} y=1000 \\ \sqrt{x}=1000 \\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2={1000}^2 \\ x=1 000 000 \end{gathered}$$

Ответ: одна общая точка (1000000;1000)

 

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\sqrt{x} \text{и} y=x+10 \\ \sqrt{x}=x+10 \\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2={(x+10)}^2 \\ x=x^2+20x+100 \end{gathered}$$

Построим графики функций

$y=\sqrt{x}$

x	0	1	4	9
y	0	1	2	3

$y=x+10$

x	0	-5
y	10	5

Ответ: общих точек нет

$\mathbf{\text{г) }}y=\sqrt{x}, y=-x+1,5$

Построим графики этих функций

$y=\sqrt{x}$

x	0	1	4	9
y	0	1	2	3

$y=-x+1,5$

x	0	-1,5
y	1,5	3

x≈0,7; y≈0,8

Ответ: одна общая точка (0,7;0,8)

3) Примеры: y=x+5 - не пересекает график $y=\sqrt{x}; y=0,5x$ - пересекает график $y=\sqrt{x}$ в двух точках, y=-x+3 - пересекает график $y=\sqrt{x}$ в одной точке

Чтобы найти общие точки графиков двух функций, необходимо приравнять их выражения и решить полученное уравнение. Если уравнение имеет корни, то графики пересекаются. Координаты точек пересечения — это найденные значения $x$ и соответствующие им значения $y$.

а) $y = \sqrt{x}$ и $y = x$

Приравняем правые части уравнений:

$\sqrt{x} = x$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x})^2 = x^2$

$x = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = \sqrt{0} = 0$. Первая точка пересечения: $(0, 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = \sqrt{1} = 1$. Вторая точка пересечения: $(1, 1)$.

Ответ: Да, графики имеют две общие точки с координатами $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

б) $y = \sqrt{x}$ и $y = 1000$

Приравняем правые части уравнений:

$\sqrt{x} = 1000$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 1000^2$

$x = 1\;000\;000$

Найденное значение $x$ удовлетворяет ОДЗ. Значение $y$ уже дано и равно 1000.

Координаты точки пересечения: $(1\;000\;000, 1000)$.

Ответ: Да, графики имеют одну общую точку с координатами $(1\;000\;000, 1000)$.

в) $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 10$

Приравняем правые части уравнений:

$\sqrt{x} = x + 10$

ОДЗ: $x \ge 0$. Кроме того, так как левая часть ($\sqrt{x}$) не может быть отрицательной, правая часть также должна быть неотрицательной: $x + 10 \ge 0$, что означает $x \ge -10$. Объединяя условия, получаем $x \ge 0$.

Возведем обе части в квадрат:

$x = (x + 10)^2$

$x = x^2 + 20x + 100$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 19x + 100 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 19^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 361 - 400 = -39$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Нет, графики не имеют общих точек.

г) $y = \sqrt{x}$ и $y = -x + 1,5$

Приравняем правые части уравнений:

$\sqrt{x} = -x + 1,5$

ОДЗ: $x \ge 0$. Также правая часть должна быть неотрицательной: $-x + 1,5 \ge 0$, что означает $x \le 1,5$. Объединенное условие: $0 \le x \le 1,5$.

Возведем обе части в квадрат:

$x = (-x + 1,5)^2$

$x = x^2 - 3x + 2,25$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 4x + 2,25 = 0$

Для удобства умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

$4x^2 - 16x + 9 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 256 - 144 = 112$

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{112}}{8} = \frac{16 \pm 4\sqrt{7}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{2}$.

Получаем два потенциальных корня:

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{7}}{2}$ и $x_2 = \frac{4 - \sqrt{7}}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли они условию $0 \le x \le 1,5$.

Приблизительное значение $\sqrt{7} \approx 2,65$.

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{7}}{2} \approx \frac{4 + 2,65}{2} = 3,325$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \le 1,5$, значит, он является посторонним.

$x_2 = \frac{4 - \sqrt{7}}{2} \approx \frac{4 - 2,65}{2} = 0,675$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le x \le 1,5$.

Итак, есть одно решение: $x = \frac{4 - \sqrt{7}}{2}$.

Найдем соответствующий $y$:

$y = -x + 1,5 = -\left(\frac{4 - \sqrt{7}}{2}\right) + \frac{3}{2} = \frac{-4 + \sqrt{7} + 3}{2} = \frac{\sqrt{7} - 1}{2}$.

Ответ: Да, графики имеют одну общую точку с координатами $\left(\frac{4 - \sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{7} - 1}{2}\right)$.

3) Примеры линейных функций, графики которых:

- не пересекают график функции $y = \sqrt{x}$

Пример: $y = -2$.

Обсуждение: Уравнение $\sqrt{x} = -2$ не имеет решений, так как квадратный корень не может быть отрицательным числом. Следовательно, графики не пересекаются.

Другой пример: $y = x + 1$.

Обсуждение: Решаем уравнение $\sqrt{x} = x + 1$. Возводим в квадрат: $x = (x+1)^2 \Rightarrow x = x^2 + 2x + 1 \Rightarrow x^2 + x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, действительных корней нет. Графики не пересекаются.

Ответ: Например, $y = -2$ или $y = x+1$.

- пересекают его в одной точке

Пример: $y = 5$.

Обсуждение: Уравнение $\sqrt{x} = 5$ имеет единственное решение $x = 25$. Точка пересечения $(25, 5)$. Любая горизонтальная прямая $y=c$ при $c \ge 0$ пересекает график $y = \sqrt{x}$ в одной точке.

Другой пример: $y = -x$.

Обсуждение: Решаем уравнение $\sqrt{x} = -x$. Так как $x \ge 0$, левая часть неотрицательна, а правая неположительна. Равенство возможно только если обе части равны нулю, т.е. $x = 0$. Единственная точка пересечения — $(0, 0)$.

Ответ: Например, $y=5$ или $y=-x$.

- пересекают его в двух точках

Пример: $y = 0,5x$.

Обсуждение: Решаем уравнение $\sqrt{x} = 0,5x$. Возводим в квадрат: $x = (0,5x)^2 \Rightarrow x = 0,25x^2 \Rightarrow 0,25x^2 - x = 0$. Выносим $x$ за скобки: $x(0,25x - 1) = 0$. Корни: $x_1=0$ и $x_2=4$. Соответствующие значения $y$: $y_1=0$ и $y_2=2$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(4, 2)$. Любая прямая $y=kx$ с $k>0$ пересекает график $y=\sqrt{x}$ в двух точках.

Ответ: Например, $y=0,5x$ или $y=x$ (как в пункте а).