Номер 354, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Функция y = √x и её график. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 354, страница 84.

354. Какой из графиков линейных функций не пересекает графика функции y =x?

1. y = –x + 2

2. y = –x

3. y = –x + 0,1

4. y = –x – 0,1

Ответ: 4

Чтобы определить, какой из графиков линейных функций не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$, необходимо для каждого варианта проверить, имеет ли соответствующая система уравнений действительные решения. Графики функций пересекаются, если существует хотя бы одна общая точка, координаты которой $(x_0, y_0)$ удовлетворяют обоим уравнениям. Важно помнить, что для функции $y = \sqrt{x}$ область определения — $x \ge 0$, а область значений — $y \ge 0$.

1. $y = -x + 2$

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = -x + 2 \end{cases}$

Приравняв правые части, получим уравнение: $\sqrt{x} = -x + 2$.

Введем замену $t = \sqrt{x}$. Так как корень арифметический, должно выполняться условие $t \ge 0$. Из замены следует, что $x = t^2$. Подставим в уравнение:

$t = -t^2 + 2$

$t^2 + t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -1$ и $t_1 \cdot t_2 = -2$. Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t = 1$. Следовательно, система имеет решение. Если $t=1$, то $\sqrt{x} = 1$, откуда $x=1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y = -x + 2$ пересекает график функции $y = \sqrt{x}$.

2. $y = -x$

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = -x \end{cases}$

Приравняем правые части: $\sqrt{x} = -x$.

Левая часть уравнения, $\sqrt{x}$, неотрицательна ($\ge 0$). Правая часть, $-x$, при $x > 0$ отрицательна. Значит, равенство для $x>0$ невозможно. Проверим случай $x=0$:

$\sqrt{0} = -0 \implies 0=0$.

Равенство верное, значит, $x=0$ является решением. Точка пересечения — $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = -x$ пересекает график функции $y = \sqrt{x}$.

3. $y = -x + 0,1$

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = -x + 0,1 \end{cases}$

Приравняем правые части: $\sqrt{x} = -x + 0,1$.

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$ ($t \ge 0$):

$t = -t^2 + 0,1 \implies t^2 + t - 0,1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,1) = 1 + 0,4 = 1,4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1,4}}{2}$.

Один из корней, $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{1,4}}{2}$, является положительным, поскольку $\sqrt{1,4} > \sqrt{1} = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $t \ge 0$, значит, система имеет решение.

Ответ: График функции $y = -x + 0,1$ пересекает график функции $y = \sqrt{x}$.

4. $y = -x - 0,1$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = -x - 0,1 \end{cases}$

Приравняем правые части: $\sqrt{x} = -x - 0,1$.

Проанализируем знаки выражений. Для любого $x$ из области определения функции $y=\sqrt{x}$ (т.е. $x \ge 0$), левая часть уравнения $\sqrt{x} \ge 0$. Правая часть $y = -x - 0,1$ при $x \ge 0$ всегда отрицательна, так как $-x \le 0$, и, соответственно, $-x - 0,1 \le -0,1$.

Неотрицательное число не может равняться отрицательному, следовательно, уравнение не имеет решений.

Можно также решить уравнение алгебраически. После замены $t = \sqrt{x}$ ($t \ge 0$) получим:

$t^2 + t + 0,1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,1 = 1 - 0,4 = 0,6$.

Корни уравнения: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{0,6}}{2}$.

Поскольку $\sqrt{0,6} < \sqrt{1} = 1$, оба числителя ($-1 - \sqrt{0,6}$ и $-1 + \sqrt{0,6}$) отрицательны. Таким образом, оба корня для $t$ отрицательны и не удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Ответ: График функции $y = -x - 0,1$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$.