Номер 360, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Функция y = √x и её график. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 360, страница 85.

360. Имеет ли смысл выражение:

a) $\sqrt{{\left(-9\right)}^2}=\sqrt{81}=9$ - да

б) ${\left(\sqrt{-9}\right)}^2$ - не имеет смысла, т.к. -9<0

в) $-\sqrt{9^2}=-\sqrt{81}=-9$ - да

г) $-\sqrt{{\left(-9\right)}^2}=-\sqrt{81}=-9$ - да

Для того чтобы определить, имеет ли смысл выражение, содержащее арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$), необходимо проверить, является ли подкоренное выражение ($a$) неотрицательным, то есть выполняется ли условие $a \ge 0$.

а) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-9)^2}$.

Сначала необходимо вычислить значение подкоренного выражения, то есть $(-9)^2$.

Возведение в квадрат: $(-9)^2 = (-9) \cdot (-9) = 81$.

Теперь выражение принимает вид $\sqrt{81}$.

Поскольку подкоренное выражение $81$ является положительным числом ($81 \ge 0$), из него можно извлечь арифметический квадратный корень. $\sqrt{81} = 9$.

Следовательно, данное выражение имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

б) Рассмотрим выражение $(\sqrt{-9})^2$.

Чтобы вычислить это выражение, сначала нужно найти значение выражения в скобках: $\sqrt{-9}$.

Подкоренное выражение равно $-9$. В области действительных чисел арифметический квадратный корень из отрицательного числа не определен, так как не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу.

Поскольку операция $\sqrt{-9}$ невыполнима в действительных числах, всё выражение не имеет смысла.

Ответ: нет, не имеет смысла.

в) Рассмотрим выражение $-\sqrt{9^2}$.

Сначала вычислим значение подкоренного выражения: $9^2 = 81$.

Выражение принимает вид $-\sqrt{81}$.

Подкоренное выражение $81$ является положительным числом, поэтому корень $\sqrt{81}$ имеет смысл и равен $9$.

Далее выполняем действие "минус" перед корнем: $-\sqrt{81} = -9$.

Все действия выполнимы, следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

г) Рассмотрим выражение $-\sqrt{(-9)^2}$.

Сначала вычислим значение подкоренного выражения: $(-9)^2 = 81$.

Выражение принимает вид $-\sqrt{81}$.

Подкоренное выражение $81$ является положительным числом, поэтому корень $\sqrt{81}$ имеет смысл и равен $9$.

Далее выполняем действие "минус" перед корнем: $-\sqrt{81} = -9$.

Все действия выполнимы, следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.