Номер 3, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 3, страница 85.

3. Приведите пример бесконечной десятичной дроби, которая является: а) рациональным числом; б) иррациональным числом.

3. а) 0,3333...=0,(3);

б) 8,0506070809010011...

а) рациональным числом

Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ – целое число, а $n$ – натуральное. При переводе в десятичную форму рациональное число представляется либо конечной, либо бесконечной периодической дробью. Поскольку в задаче требуется привести пример именно бесконечной дроби, мы должны выбрать бесконечную периодическую дробь.

Возьмем в качестве примера обыкновенную дробь $1/3$. Чтобы представить ее в виде десятичной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель: $1 \div 3 = 0.333...$ Это бесконечная десятичная дробь, в которой цифра 3 повторяется. Такие дроби называются периодическими и записываются с указанием периода в скобках: $0.(3)$. Так как число $0.(3)$ является десятичным представлением дроби $1/3$, оно рационально.

Ответ: $0.(3)$

б) иррациональным числом

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде дроби $m/n$. Десятичное представление иррационального числа всегда является бесконечной непериодической дробью. Это значит, что последовательность цифр после запятой никогда не заканчивается и в ней нет повторяющегося блока (периода).

Классическими примерами иррациональных чисел являются математические константы, такие как $\pi$ или $e$, а также корни из чисел, которые не являются точными квадратами. Например, $\sqrt{2}$: $\sqrt{2} = 1.4142135623...$ Последовательность цифр в этом числе бесконечна и не имеет периода.

Также можно самостоятельно сконструировать пример иррационального числа, создав закономерность, которая не приводит к периодичности. Например: $0.101001000100001...$ В этом числе количество нулей между единицами каждый раз увеличивается на один, что исключает возможность повторения какой-либо группы цифр.

Ответ: $1.41421356...$ (число $\sqrt{2}$)