Номер 361, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Функция y = √x и её график. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 361, страница 85.

361. Решите уравнения

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }{x}^2=11 \\ {x}_1=\sqrt{11} \\ {x}_2=-\sqrt{11} \\ \text{Ответ:} -\sqrt{11} \text{и} \sqrt{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=11 \\ x=121 \\ \text{Ответ:} 121 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }2x^2=\frac{1}{2} \\ {x}^2=\frac{1}{4} \\ {x}_1=\frac{1}{2} \\ {x}_2=-\frac{1}{2} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{2} \text{и} \frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2\sqrt{x}=\frac{1}{2} \\ \sqrt{x}=\frac{1}{4} \\ x=\frac{1}{16} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{16} \end{gathered}$$

а)

Решим первое уравнение: $x^2 = 11$.

Это квадратное уравнение. Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку $11 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \pm\sqrt{11}$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \sqrt{11}$ и $x_2 = -\sqrt{11}$.

Решим второе уравнение: $\sqrt{x} = 11$.

По определению арифметического квадратного корня, подкоренное выражение не может быть отрицательным, то есть $x \ge 0$. Также значение корня должно быть неотрицательным, что выполняется, так как $11 \ge 0$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 11^2$

$x = 121$.

Полученное значение $x=121$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: для уравнения $x^2 = 11$ корни $x = \sqrt{11}$ и $x = -\sqrt{11}$; для уравнения $\sqrt{x} = 11$ корень $x = 121$.

б)

Решим первое уравнение: $2x^2 = \frac{1}{2}$.

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $x^2$:

$x^2 = \frac{1}{2} \div 2$

$x^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$x^2 = \frac{1}{4}$.

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Уравнение имеет два корня:

$x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$x_{1,2} = \pm\frac{1}{2}$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Решим второе уравнение: $2\sqrt{x} = \frac{1}{2}$.

Область допустимых значений для $x$ определяется условием $x \ge 0$.

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{2} \div 2$

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти $x$:

$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$x = \frac{1}{16}$.

Полученное значение $x = \frac{1}{16}$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: для уравнения $2x^2 = \frac{1}{2}$ корни $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$; для уравнения $2\sqrt{x} = \frac{1}{2}$ корень $x = \frac{1}{16}$.