Страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

349. С помощью графика функции y = x найдите:

а) значение функции при x = 0,5; 1,5; 6,5; 7,2;

б) значение аргумента, которому соответствует значение y = 0,5; 1,5; 1,8; 2,3

$y=\sqrt{x}$

a) при x=0,5; y≈0,7

при x=1,5; y≈1,2

при x=6,5; y≈2,5

при x=7,2; y≈2,7

б) если y=0,5, то x≈0,25

если y=1,5, то x≈2,3

если y=1,8, то x≈3,2

если y=2,3, то x≈5,3

Для решения этой задачи необходимо использовать график функции $y = \sqrt{x}$. График этой функции представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат и расположенную в первой координатной четверти. Поиск значений по графику дает приблизительные результаты, поэтому для точности мы также проведем аналитические вычисления.

а) значение функции при x = 0,5; 1,5; 6,5; 7,2;

Чтобы найти значение функции $y$ для заданного значения аргумента $x$ с помощью графика, нужно на оси абсцисс (Ox) найти точку, соответствующую $x$, провести из нее вертикальную линию до пересечения с графиком функции, а затем из точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат (Oy). Точка пересечения с осью Oy дает искомое значение $y$.

Выполним вычисления, чтобы найти точные значения, которые на графике определялись бы приблизительно:

При $x = 0,5$: $y = \sqrt{0,5} \approx 0,71$.
При $x = 1,5$: $y = \sqrt{1,5} \approx 1,22$.
При $x = 6,5$: $y = \sqrt{6,5} \approx 2,55$.
При $x = 7,2$: $y = \sqrt{7,2} \approx 2,68$.

Округлим полученные значения так, как их можно было бы считать с графика.

Ответ: при $x=0,5$, $y \approx 0,7$; при $x=1,5$, $y \approx 1,2$; при $x=6,5$, $y \approx 2,55$; при $x=7,2$, $y \approx 2,7$.

б) значение аргумента, которому соответствует значение y = 0,5; 1,5; 1,8; 2,3.

Чтобы найти значение аргумента $x$ для заданного значения функции $y$, нужно на оси ординат (Oy) найти точку, соответствующую $y$, провести из нее горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения опустить вертикальную линию на ось абсцисс (Ox). Точка пересечения с осью Ox дает искомое значение $x$.

Аналитически значение $x$ можно найти из уравнения $y = \sqrt{x}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = y^2$.

Выполним вычисления:

При $y = 0,5$: $x = (0,5)^2 = 0,25$.
При $y = 1,5$: $x = (1,5)^2 = 2,25$.
При $y = 1,8$: $x = (1,8)^2 = 3,24$.
При $y = 2,3$: $x = (2,3)^2 = 5,29$.

Ответ: при $y=0,5$, $x=0,25$; при $y=1,5$, $x=2,25$; при $y=1,8$, $x=3,24$; при $y=2,3$, $x=5,29$.

350. Принадлежит ли графику функции y =x точка A(64; 8)? точка B(10 000; 100)? точка C(–81; 9)? точка D(25; –5)?

$y=\sqrt{x}$

$A\left(64;8\right), 8=\sqrt{64}$ - верно

Ответ: принадлежит

$B\left(10000;100\right); 100=\sqrt{10000}$ - верно

Ответ: принадлежит

$С\left(-81;9\right); 9=\sqrt{-81}$ - неверно, т.к. -81<0

Ответ: не принадлежит

$D\left(25;-5\right); -5=\sqrt{25}$ - неверно, т.к. -5<0

Ответ: не принадлежит

Чтобы определить, принадлежит ли точка с заданными координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = f(x)$, необходимо подставить эти координаты в уравнение функции. Если в результате подстановки $y_0 = f(x_0)$ получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное, или значение $x_0$ не входит в область определения функции, то точка не принадлежит графику.

Для функции $y = \sqrt{x}$ область определения (допустимые значения $x$) — это все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$. Область значений (значения, которые может принимать $y$) — также все неотрицательные числа, $y \ge 0$.

точка A(64; 8)
Подставим координаты точки $A(64; 8)$ в уравнение функции $y = \sqrt{x}$.
Координата $x = 64$ входит в область определения ($64 \ge 0$). Координата $y = 8$ входит в область значений ($8 \ge 0$).
Проверяем равенство: $y = \sqrt{x} \implies 8 = \sqrt{64}$.
Равенство $8 = 8$ является верным.
Следовательно, точка принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

точка B(10 000; 100)
Подставим координаты точки $B(10 000; 100)$ в уравнение функции $y = \sqrt{x}$.
Координата $x = 10 000$ входит в область определения ($10 000 \ge 0$). Координата $y = 100$ входит в область значений ($100 \ge 0$).
Проверяем равенство: $y = \sqrt{x} \implies 100 = \sqrt{10 000}$.
Равенство $100 = 100$ является верным.
Следовательно, точка принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

точка C(-81; 9)
Рассмотрим координаты точки $C(-81; 9)$.
Координата $x = -81$. Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это множество $x \ge 0$.
Поскольку $x = -81 < 0$, это значение не входит в область определения функции (в поле действительных чисел корень из отрицательного числа не определён).
Следовательно, точка не может принадлежать графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

точка D(25; -5)
Подставим координаты точки $D(25; -5)$ в уравнение функции $y = \sqrt{x}$.
Координата $x = 25$ входит в область определения ($25 \ge 0$).
Проверяем равенство: $y = \sqrt{x} \implies -5 = \sqrt{25}$.
Арифметический квадратный корень $\sqrt{25}$ по определению равен 5. Равенство $-5 = 5$ является неверным.
Также можно отметить, что координата $y = -5$ не входит в область значений функции ($y \ge 0$).
Следовательно, точка не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

351. Пересекает ли график функции y =x прямая:

а) y = 1;

б) y = 10;

в) y = 100;

г) y = –100?

Если пересекает, то в какой точке?

$y=\sqrt{x}$

a) y=1 пересекает в точке (1;1), т.к. $1=\sqrt{x}; x=1$

б) y=10 пересекает в точке (100;10), т.к. $10=\sqrt{x}; x=100$

в) y=100 пересекает в точке (10000;100), т.к. $100=\sqrt{x}; x=10000$

г) y=-100 не пересекает

а) Чтобы определить, пересекаются ли графики, нужно найти общее решение для уравнений $y = \sqrt{x}$ и $y = 1$. Для этого приравняем их правые части, что приводит к уравнению $\sqrt{x} = 1$. Чтобы найти $x$, возведем обе части этого уравнения в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 1^2$, откуда получаем $x = 1$. Поскольку $y = 1$, точкой пересечения является $(1; 1)$.
Ответ: Да, пересекает в точке $(1; 1)$.

б) Аналогично для прямой $y = 10$, решаем уравнение $\sqrt{x} = 10$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 10^2$, то есть $x = 100$. Точкой пересечения является $(100; 10)$.
Ответ: Да, пересекает в точке $(100; 10)$.

в) Для прямой $y = 100$ решаем уравнение $\sqrt{x} = 100$. Возведение в квадрат дает $x = 100^2$, или $x = 10000$. Точка пересечения — $(10000; 100)$.
Ответ: Да, пересекает в точке $(10000; 100)$.

г) Для прямой $y = -100$ нужно решить уравнение $\sqrt{x} = -100$. По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) всегда является неотрицательным числом. Это означает, что область значений функции $y = \sqrt{x}$ — это $y \ge 0$. Так как $-100$ является отрицательным числом, данное уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, графики не пересекаются.
Ответ: Нет, не пересекает.

352. Докажите, что графики функций y = x и y = x + 0,5 не имеют общих точек.

$$\begin{gathered} y=\sqrt{x}; y=x+0,5 \\ \sqrt{x}=x+0,5 \\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2={\left(x+0,5\right)}^2 \\ x=x^2+x+0,25 \\ {x}^2+x-x+0,25=0 \\ {x}^2+0,25=0 \\ {x}^2=-0,25 \end{gathered}$$

Уравнение не имеет корней, значит, графики данных функций не имеют общих точек

Для того чтобы доказать, что графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 0,5$ не имеют общих точек, нужно показать, что система уравнений, составленная из этих функций, не имеет решений.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы (координаты $x$) возможных точек пересечения:

$\sqrt{x} = x + 0,5$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Кроме того, значение квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x + 0,5 \ge 0$, что означает $x \ge -0,5$. Пересечением этих двух условий является $x \ge 0$.

Поскольку обе части уравнения неотрицательны в области допустимых значений, мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (x + 0,5)^2$

$x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 0,5 + (0,5)^2$

$x = x^2 + x + 0,25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x - x + 0,25 = 0$

$x^2 + 0,25 = 0$

Чтобы определить, имеет ли это уравнение действительные корни, найдем его дискриминант. Уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=0$, $c=0,25$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,25 = 0 - 1 = -1$

Так как дискриминант $D = -1$ меньше нуля ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Поскольку уравнение для нахождения абсцисс точек пересечения не имеет решений, то графики заданных функций не имеют общих точек.

Ответ: Так как уравнение $\sqrt{x} = x + 0,5$ не имеет действительных корней, графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 0,5$ не имеют общих точек, что и требовалось доказать.

353. (Для работы в парах.) Имеют ли общие точки графики функций:

При положительном ответе укажите координаты этих точек.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки.

3) Приведите примеры линейных функций, графики которых: не пересекают график функции y =x; пересекают его в одной точке; пересекают его в двух точках. Обсудите правильность этих примеров.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}y=\sqrt{x} \text{и} y=x \\ \sqrt{x}=x \\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2=x^2 \\ x=x^2 \\ x-x^2=0 \\ x(1-x)=0 \\ \begin{array}{ccc}x=0& \text{или}& 1-x=0\\ & & x=1\end{array} \end{gathered}$$

Если x=0, то y=0

Если x=1, то y=1

Ответ: две общие точки (1;1) и (0;0)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\sqrt{x} \text{и} y=1000 \\ \sqrt{x}=1000 \\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2={1000}^2 \\ x=1 000 000 \end{gathered}$$

Ответ: одна общая точка (1000000;1000)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\sqrt{x} \text{и} y=x+10 \\ \sqrt{x}=x+10 \\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2={(x+10)}^2 \\ x=x^2+20x+100 \end{gathered}$$

Построим графики функций

$y=\sqrt{x}$

$y=x+10$

Ответ: общих точек нет

$\mathbf{\text{г) }}y=\sqrt{x}, y=-x+1,5$

Построим графики этих функций

$y=\sqrt{x}$

$y=-x+1,5$

x≈0,7; y≈0,8

Ответ: одна общая точка (0,7;0,8)

3) Примеры: y=x+5 - не пересекает график $y=\sqrt{x}; y=0,5x$ - пересекает график $y=\sqrt{x}$ в двух точках, y=-x+3 - пересекает график $y=\sqrt{x}$ в одной точке

Чтобы найти общие точки графиков двух функций, необходимо приравнять их выражения и решить полученное уравнение. Если уравнение имеет корни, то графики пересекаются. Координаты точек пересечения — это найденные значения $x$ и соответствующие им значения $y$.

а) $y = \sqrt{x}$ и $y = x$

Приравняем правые части уравнений:

$\sqrt{x} = x$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x})^2 = x^2$

$x = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = \sqrt{0} = 0$. Первая точка пересечения: $(0, 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = \sqrt{1} = 1$. Вторая точка пересечения: $(1, 1)$.

Ответ: Да, графики имеют две общие точки с координатами $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

б) $y = \sqrt{x}$ и $y = 1000$

Приравняем правые части уравнений:

$\sqrt{x} = 1000$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 1000^2$

$x = 1\;000\;000$

Найденное значение $x$ удовлетворяет ОДЗ. Значение $y$ уже дано и равно 1000.

Координаты точки пересечения: $(1\;000\;000, 1000)$.

Ответ: Да, графики имеют одну общую точку с координатами $(1\;000\;000, 1000)$.

в) $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 10$

Приравняем правые части уравнений:

$\sqrt{x} = x + 10$

ОДЗ: $x \ge 0$. Кроме того, так как левая часть ($\sqrt{x}$) не может быть отрицательной, правая часть также должна быть неотрицательной: $x + 10 \ge 0$, что означает $x \ge -10$. Объединяя условия, получаем $x \ge 0$.

Возведем обе части в квадрат:

$x = (x + 10)^2$

$x = x^2 + 20x + 100$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 19x + 100 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 19^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 361 - 400 = -39$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Нет, графики не имеют общих точек.

г) $y = \sqrt{x}$ и $y = -x + 1,5$

Приравняем правые части уравнений:

$\sqrt{x} = -x + 1,5$

ОДЗ: $x \ge 0$. Также правая часть должна быть неотрицательной: $-x + 1,5 \ge 0$, что означает $x \le 1,5$. Объединенное условие: $0 \le x \le 1,5$.

Возведем обе части в квадрат:

$x = (-x + 1,5)^2$

$x = x^2 - 3x + 2,25$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 4x + 2,25 = 0$

Для удобства умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

$4x^2 - 16x + 9 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 256 - 144 = 112$

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{112}}{8} = \frac{16 \pm 4\sqrt{7}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{2}$.

Получаем два потенциальных корня:

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{7}}{2}$ и $x_2 = \frac{4 - \sqrt{7}}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли они условию $0 \le x \le 1,5$.

Приблизительное значение $\sqrt{7} \approx 2,65$.

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{7}}{2} \approx \frac{4 + 2,65}{2} = 3,325$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \le 1,5$, значит, он является посторонним.

$x_2 = \frac{4 - \sqrt{7}}{2} \approx \frac{4 - 2,65}{2} = 0,675$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le x \le 1,5$.

Итак, есть одно решение: $x = \frac{4 - \sqrt{7}}{2}$.

Найдем соответствующий $y$:

$y = -x + 1,5 = -\left(\frac{4 - \sqrt{7}}{2}\right) + \frac{3}{2} = \frac{-4 + \sqrt{7} + 3}{2} = \frac{\sqrt{7} - 1}{2}$.

Ответ: Да, графики имеют одну общую точку с координатами $\left(\frac{4 - \sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{7} - 1}{2}\right)$.

3) Примеры линейных функций, графики которых:

- не пересекают график функции $y = \sqrt{x}$

Пример: $y = -2$.

Обсуждение: Уравнение $\sqrt{x} = -2$ не имеет решений, так как квадратный корень не может быть отрицательным числом. Следовательно, графики не пересекаются.

Другой пример: $y = x + 1$.

Обсуждение: Решаем уравнение $\sqrt{x} = x + 1$. Возводим в квадрат: $x = (x+1)^2 \Rightarrow x = x^2 + 2x + 1 \Rightarrow x^2 + x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, действительных корней нет. Графики не пересекаются.

Ответ: Например, $y = -2$ или $y = x+1$.

- пересекают его в одной точке

Пример: $y = 5$.

Обсуждение: Уравнение $\sqrt{x} = 5$ имеет единственное решение $x = 25$. Точка пересечения $(25, 5)$. Любая горизонтальная прямая $y=c$ при $c \ge 0$ пересекает график $y = \sqrt{x}$ в одной точке.

Другой пример: $y = -x$.

Обсуждение: Решаем уравнение $\sqrt{x} = -x$. Так как $x \ge 0$, левая часть неотрицательна, а правая неположительна. Равенство возможно только если обе части равны нулю, т.е. $x = 0$. Единственная точка пересечения — $(0, 0)$.

Ответ: Например, $y=5$ или $y=-x$.

- пересекают его в двух точках

Пример: $y = 0,5x$.

Обсуждение: Решаем уравнение $\sqrt{x} = 0,5x$. Возводим в квадрат: $x = (0,5x)^2 \Rightarrow x = 0,25x^2 \Rightarrow 0,25x^2 - x = 0$. Выносим $x$ за скобки: $x(0,25x - 1) = 0$. Корни: $x_1=0$ и $x_2=4$. Соответствующие значения $y$: $y_1=0$ и $y_2=2$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(4, 2)$. Любая прямая $y=kx$ с $k>0$ пересекает график $y=\sqrt{x}$ в двух точках.

Ответ: Например, $y=0,5x$ или $y=x$ (как в пункте а).

354. Какой из графиков линейных функций не пересекает графика функции y =x?

1. y = –x + 2

2. y = –x

3. y = –x + 0,1

4. y = –x – 0,1

Ответ: 4

Чтобы определить, какой из графиков линейных функций не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$, необходимо для каждого варианта проверить, имеет ли соответствующая система уравнений действительные решения. Графики функций пересекаются, если существует хотя бы одна общая точка, координаты которой $(x_0, y_0)$ удовлетворяют обоим уравнениям. Важно помнить, что для функции $y = \sqrt{x}$ область определения — $x \ge 0$, а область значений — $y \ge 0$.

1. $y = -x + 2$

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = -x + 2 \end{cases}$

Приравняв правые части, получим уравнение: $\sqrt{x} = -x + 2$.

Введем замену $t = \sqrt{x}$. Так как корень арифметический, должно выполняться условие $t \ge 0$. Из замены следует, что $x = t^2$. Подставим в уравнение:

$t = -t^2 + 2$

$t^2 + t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -1$ и $t_1 \cdot t_2 = -2$. Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t = 1$. Следовательно, система имеет решение. Если $t=1$, то $\sqrt{x} = 1$, откуда $x=1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y = -x + 2$ пересекает график функции $y = \sqrt{x}$.

2. $y = -x$

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = -x \end{cases}$

Приравняем правые части: $\sqrt{x} = -x$.

Левая часть уравнения, $\sqrt{x}$, неотрицательна ($\ge 0$). Правая часть, $-x$, при $x > 0$ отрицательна. Значит, равенство для $x>0$ невозможно. Проверим случай $x=0$:

$\sqrt{0} = -0 \implies 0=0$.

Равенство верное, значит, $x=0$ является решением. Точка пересечения — $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = -x$ пересекает график функции $y = \sqrt{x}$.

3. $y = -x + 0,1$

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = -x + 0,1 \end{cases}$

Приравняем правые части: $\sqrt{x} = -x + 0,1$.

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$ ($t \ge 0$):

$t = -t^2 + 0,1 \implies t^2 + t - 0,1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,1) = 1 + 0,4 = 1,4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1,4}}{2}$.

Один из корней, $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{1,4}}{2}$, является положительным, поскольку $\sqrt{1,4} > \sqrt{1} = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $t \ge 0$, значит, система имеет решение.

Ответ: График функции $y = -x + 0,1$ пересекает график функции $y = \sqrt{x}$.

4. $y = -x - 0,1$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = -x - 0,1 \end{cases}$

Приравняем правые части: $\sqrt{x} = -x - 0,1$.

Проанализируем знаки выражений. Для любого $x$ из области определения функции $y=\sqrt{x}$ (т.е. $x \ge 0$), левая часть уравнения $\sqrt{x} \ge 0$. Правая часть $y = -x - 0,1$ при $x \ge 0$ всегда отрицательна, так как $-x \le 0$, и, соответственно, $-x - 0,1 \le -0,1$.

Неотрицательное число не может равняться отрицательному, следовательно, уравнение не имеет решений.

Можно также решить уравнение алгебраически. После замены $t = \sqrt{x}$ ($t \ge 0$) получим:

$t^2 + t + 0,1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,1 = 1 - 0,4 = 0,6$.

Корни уравнения: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{0,6}}{2}$.

Поскольку $\sqrt{0,6} < \sqrt{1} = 1$, оба числителя ($-1 - \sqrt{0,6}$ и $-1 + \sqrt{0,6}$) отрицательны. Таким образом, оба корня для $t$ отрицательны и не удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Ответ: График функции $y = -x - 0,1$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$.

355. Решите графически уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}}\mathbf{ }\sqrt{x}=6-x \\ y=\sqrt{x}, x\ge 0 \end{gathered}$$

x=4

Ответ: 4

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\sqrt{x}=\frac{4}{x} \\ y=\sqrt{x}, x\ge 0 \end{gathered}$$

Ответ: ≈2,6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }-x-5=\sqrt{x} \\ y=\sqrt{x}, x\ge 0 \end{gathered}$$

Для графического решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков являются решениями уравнения.

а) $\sqrt{x} = 6 - x$

Рассмотрим две функции: $y = \sqrt{x}$ и $y = 6 - x$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 0$. Построим его по точкам:
(0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3).

2. График функции $y = 6 - x$ — это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек, например, точек пересечения с осями координат:
Если $x=0$, то $y = 6$. Точка (0, 6).
Если $y=0$, то $x = 6$. Точка (6, 0).

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Из графика видно, что графики функций пересекаются в одной точке. Определим её координаты. По графику видно, что точка пересечения имеет координаты (4, 2). Абсцисса этой точки равна 4.

Выполним проверку, подставив $x=4$ в исходное уравнение:
$\sqrt{4} = 6 - 4$
$2 = 2$
Равенство верное, значит, $x=4$ является корнем уравнения.

Ответ: $x=4$.

б) $\sqrt{x} = \frac{4}{x}$

Рассмотрим две функции: $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{4}{x}$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Область определения: $x \ge 0$.

2. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Поскольку область определения функции $y=\sqrt{x}$ есть $x \ge 0$, нас интересует только та часть графика $y=\frac{4}{x}$, где $x > 0$. Это ветвь гиперболы в первой четверти. Построим её по точкам:
(1, 4), (2, 2), (4, 1), (8, 0.5).

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей при $x > 0$, а функция $y = \frac{4}{x}$ — убывающей при $x > 0$. Следовательно, их графики могут пересечься не более одного раза. Из графика видно, что они пересекаются в одной точке, абсцисса которой находится между 2 и 3.

Графический метод в данном случае позволяет найти лишь приблизительное решение. Для нахождения точного решения преобразуем уравнение алгебраически (учитывая, что $x>0$):
$\sqrt{x} = \frac{4}{x}$
Возведем обе части в квадрат:
$x = \frac{16}{x^2}$
$x^3 = 16$
$x = \sqrt[3]{16}$
Так как $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то $2 < \sqrt[3]{16} < 3$, что соответствует графическому изображению. $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2} \approx 2.52$.

Ответ: $x=\sqrt[3]{16}$.

в) $-x - 5 = \sqrt{x}$

Рассмотрим две функции: $y = \sqrt{x}$ и $y = -x - 5$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы. Область определения $D(y): x \ge 0$. Область значений $E(y): y \ge 0$. Это означает, что график целиком лежит в верхней полуплоскости (и включает начало координат).

2. График функции $y = -x - 5$ — это прямая линия. Построим её по точкам:
Если $x=0$, то $y = -5$. Точка (0, -5).
Если $x=-5$, то $y = 0$. Точка (-5, 0).

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Проанализируем области значений функций. Для $y = \sqrt{x}$ все значения неотрицательны ($y \ge 0$). Для функции $y = -x - 5$ на области определения $x \ge 0$ (где существует $\sqrt{x}$), её значения будут: $y = -x - 5 \le -0 - 5 = -5$.
Таким образом, для любого $x \ge 0$, левая часть уравнения $(-x-5)$ всегда отрицательна (точнее, меньше либо равна -5), а правая часть $(\sqrt{x})$ всегда неотрицательна. Равенство между ними невозможно.
На графике видно, что кривая $y=\sqrt{x}$ и прямая $y=-x-5$ не имеют точек пересечения.

Ответ: решений нет.

356. Что больше:

a) $\sqrt{10}<\sqrt{11}$

б) $\sqrt{0,12}<\sqrt{0,15}$

в) $\sqrt{50}<\sqrt{60}$

г) $7<\sqrt{50}; \sqrt{49}<\sqrt{50}$

д) $\sqrt{60}<8; \sqrt{60}<\sqrt{64}$

е) $\sqrt{2}<1,4; \sqrt{2}<\sqrt{1,96}$

ж) $\sqrt{3}<1,8; \sqrt{3}<\sqrt{3,24}$

з) $\sqrt{28}<5,2; \sqrt{28}<\sqrt{27,04}$

и) $9<\sqrt{95}; \sqrt{81}<\sqrt{95}$

а) Чтобы сравнить два числа, находящиеся под знаком квадратного корня, $\sqrt{10}$ и $\sqrt{11}$, достаточно сравнить подкоренные выражения. Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравниваем подкоренные выражения: $10$ и $11$. Поскольку $11 > 10$, то и $\sqrt{11} > \sqrt{10}$.
Ответ: $\sqrt{11}$.

б) Для сравнения $\sqrt{0,12}$ и $\sqrt{0,15}$ сравним числа под корнем: $0,12$ и $0,15$. Так как $0,15 > 0,12$, то $\sqrt{0,15} > \sqrt{0,12}$.
Ответ: $\sqrt{0,15}$.

в) Сравниваем $\sqrt{50}$ и $\sqrt{60}$. Для этого сравним подкоренные выражения: $50$ и $60$. Поскольку $60 > 50$, то $\sqrt{60} > \sqrt{50}$.
Ответ: $\sqrt{60}$.

г) Чтобы сравнить $7$ и $\sqrt{50}$, представим число $7$ в виде квадратного корня. $7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$. Теперь сравним $\sqrt{49}$ и $\sqrt{50}$. Так как $50 > 49$, то $\sqrt{50} > \sqrt{49}$, следовательно $\sqrt{50} > 7$.
Ответ: $\sqrt{50}$.

д) Для сравнения $\sqrt{60}$ и $8$, представим $8$ в виде корня: $8 = \sqrt{8^2} = \sqrt{64}$. Сравниваем $\sqrt{60}$ и $\sqrt{64}$. Поскольку $64 > 60$, то $\sqrt{64} > \sqrt{60}$, а значит $8 > \sqrt{60}$.
Ответ: $8$.

е) Чтобы сравнить $\sqrt{2}$ и $1,4$, возведем оба числа в квадрат, так как оба они положительны. $(\sqrt{2})^2 = 2$ и $(1,4)^2 = 1,96$. Сравниваем результаты: $2 > 1,96$. Следовательно, $\sqrt{2} > 1,4$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

ж) Для сравнения $\sqrt{3}$ и $1,8$, возведем оба положительных числа в квадрат. $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $(1,8)^2 = 3,24$. Так как $3,24 > 3$, то $1,8 > \sqrt{3}$.
Ответ: $1,8$.

з) Сравним $\sqrt{28}$ и $5,2$. Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{28})^2 = 28$ и $(5,2)^2 = 27,04$. Поскольку $28 > 27,04$, то $\sqrt{28} > 5,2$.
Ответ: $\sqrt{28}$.

и) Чтобы сравнить $9$ и $\sqrt{95}$, возведем оба числа в квадрат. $9^2 = 81$ и $(\sqrt{95})^2 = 95$. Сравниваем результаты: $95 > 81$. Следовательно, $\sqrt{95} > 9$.
Ответ: $\sqrt{95}$.