Номер 366, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Квадратный корень из произведения и дроби. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 366, страница 89.

366. Найдите значение корня:

a) $\sqrt{0,04·81·25}=\sqrt{0,04}·\sqrt{81}·\sqrt{25}=0,2·9·5=9$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{0,09·16·0,04}=\sqrt{0,09}·\sqrt{16}·\sqrt{0,04}= \\ =0,3·4·0,2=0,3·0,8=0,24 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{1\frac{7}{9}·\frac{4}{25}}=\sqrt{\frac{16}{9}·\frac{4}{25}}=\sqrt{\frac{16}{9}}·\sqrt{\frac{4}{25}}= \\ =\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}·\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{3}·\frac{2}{5}=\frac{8}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{\frac{121}{144}·2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{121}{144}·\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{121}{144}}·\sqrt{\frac{9}{4}}= \\ =\frac{11}{12}·\frac{3}{2}=\frac{11·1}{4·2}=\frac{11}{8}=1\frac{3}{8} \end{gathered}$$

а) Для нахождения значения корня воспользуемся свойством «корень из произведения равен произведению корней»: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.
$\sqrt{0,04 \cdot 81 \cdot 25} = \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{25}$.
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{0,04} = 0,2$
$\sqrt{81} = 9$
$\sqrt{25} = 5$
Перемножим полученные значения: $0,2 \cdot 9 \cdot 5 = 1,8 \cdot 5 = 9$.
Альтернативный способ — сгруппировать множители: $\sqrt{(0,04 \cdot 25) \cdot 81} = \sqrt{1 \cdot 81} = \sqrt{81} = 9$.
Ответ: 9.

б) Применим свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.
$\sqrt{0,09 \cdot 16 \cdot 0,04} = \sqrt{0,09} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{0,04}$.
Извлекаем корень из каждого множителя по отдельности:
$\sqrt{0,09} = 0,3$
$\sqrt{16} = 4$
$\sqrt{0,04} = 0,2$
Теперь перемножим результаты: $0,3 \cdot 4 \cdot 0,2 = 1,2 \cdot 0,2 = 0,24$.
Ответ: 0,24.

в) Сначала представим смешанное число $1\frac{7}{9}$ в виде неправильной дроби:
$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.
Выражение примет вид: $\sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{4}{25}}$.
Используем свойство корня из произведения, а затем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{\frac{16}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5}$.
Перемножим полученные дроби: $\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{8}{15}$.

г) Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Выражение примет вид: $\sqrt{\frac{121}{144} \cdot \frac{9}{4}}$.
Применим свойство корня из произведения и корня из дроби:
$\sqrt{\frac{121}{144}} \cdot \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{144}} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{11}{12} \cdot \frac{3}{2}$.
Перемножим дроби: $\frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 2} = \frac{33}{24}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{33 \div 3}{24 \div 3} = \frac{11}{8}$.
Ответ: $\frac{11}{8}$.