Номер 371, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Квадратный корень из произведения и дроби. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 371, страница 89.

371. Представьте выражение в виде произведения корней:

a) $\sqrt{15}=\sqrt{3·5}=\sqrt{3}·\sqrt{5}$

б) $\sqrt{21}=\sqrt{3·7}=\sqrt{3}·\sqrt{7}$

в) $\sqrt{7a}=\sqrt{7}·\sqrt{a}$ при a≥0

г) $\sqrt{3c}=\sqrt{3}·\sqrt{c}$ при c≥0

а) Для того чтобы представить выражение $\sqrt{15}$ в виде произведения корней, необходимо разложить подкоренное выражение на множители. Число 15 можно представить как произведение простых множителей 3 и 5.
$15 = 3 \cdot 5$
Далее воспользуемся свойством корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$
Ответ: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$

б) Чтобы представить выражение $\sqrt{21}$ в виде произведения корней, разложим число 21 на множители. Простыми множителями числа 21 являются 3 и 7.
$21 = 3 \cdot 7$
Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}$
Ответ: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}$

в) Выражение под корнем $\sqrt{7a}$ уже представляет собой произведение двух множителей: 7 и $a$. Чтобы корень имел смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Так как 7 — положительное число, то и переменная $a$ должна быть неотрицательной ($a \ge 0$).
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt{7a} = \sqrt{7 \cdot a} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{a}$
Ответ: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{a}$

г) В выражении $\sqrt{3c}$ подкоренное выражение является произведением числа 3 и переменной $c$. По аналогии с предыдущим пунктом, для существования корня необходимо, чтобы $c \ge 0$.
Разложим корень из произведения на произведение корней:
$\sqrt{3c} = \sqrt{3 \cdot c} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{c}$
Ответ: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{c}$