Номер 373, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Квадратный корень из произведения и дроби. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 373, страница 89.

373. Докажите, что при любом неотрицательном a:

a) $10\sqrt{\frac{a}{100}}=10·\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{100}}=10·\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{10}}=\sqrt{a}$ при a≥0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\sqrt{a}=\frac{1}{10}\sqrt{100a}=\frac{1}{10}·\sqrt{100}·\sqrt{a}= \\ =\frac{1}{10}·10·\sqrt{a}=\sqrt{a} \text{при} a\ge 0 \end{gathered}$$

а) Для доказательства равенства $10\sqrt{\frac{a}{100}} = \sqrt{a}$ преобразуем его левую часть. Условие, что $a$ неотрицательно ($a \ge 0$), гарантирует корректность всех выполняемых операций с корнями.
Используем свойство корня из частного $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ (при $x \ge 0, y > 0$):
$10\sqrt{\frac{a}{100}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{100}}$
Так как $\sqrt{100} = 10$, подставим это значение в выражение:
$10 \cdot \frac{\sqrt{a}}{10} = \frac{10 \cdot \sqrt{a}}{10} = \sqrt{a}$
В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна правой.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Для доказательства равенства $\sqrt{a} = \frac{1}{10}\sqrt{100a}$ преобразуем его правую часть.
Используем свойство корня из произведения $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$):
$\frac{1}{10}\sqrt{100a} = \frac{1}{10} \cdot (\sqrt{100} \cdot \sqrt{a})$
Так как $\sqrt{100} = 10$, подставим это значение:
$\frac{1}{10} \cdot (10 \cdot \sqrt{a}) = \frac{10}{10} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a}$
В результате преобразований мы получили, что правая часть равенства равна левой.
Ответ: Что и требовалось доказать.