Номер 368, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Квадратный корень из произведения и дроби. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 368, страница 89.

368. Найдите значение выражения:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{75·48}=\sqrt{25·3·16·3}=\sqrt{25·16·9}= \\ =\sqrt{25}·\sqrt{16}·\sqrt{9}=5·4·3=60 \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} \sqrt{45·80}=\sqrt{9·5·16·5}=\sqrt{9·16·25}= \\ =\sqrt{9}·\sqrt{16}·\sqrt{25}=3·4·5=60 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\sqrt{4,9·360}=\sqrt{\frac{49}{10}·\frac{3600}{10}}=\sqrt{\frac{49·3600}{100}}= \\ =\frac{\sqrt{49·3600}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{49}·\sqrt{3600}}{10}=\frac{7·60}{10}=42 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\sqrt{160·6,4}=\sqrt{\frac{1600}{10}·\frac{64}{10}}=\sqrt{\frac{1600·64}{100}}= \\ =\frac{\sqrt{1600·64}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{1600}·\sqrt{64}}{10}=\frac{40·8}{10}=32 \end{gathered}$$

а)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{75 \cdot 48} $ воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $. Чтобы упростить извлечение корня, разложим числа под корнем на множители, которые являются полными квадратами.

Разложим число 75 на множители: $ 75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3 $.

Разложим число 48 на множители: $ 48 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3 $.

Подставим разложения в исходное выражение:

$ \sqrt{75 \cdot 48} = \sqrt{(25 \cdot 3) \cdot (16 \cdot 3)} $

Сгруппируем множители, объединив одинаковые:

$ \sqrt{25 \cdot 16 \cdot (3 \cdot 3)} = \sqrt{25 \cdot 16 \cdot 9} $

Теперь применим свойство корня из произведения для каждого множителя:

$ \sqrt{25} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{9} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 $

Ответ: 60

б)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{45 \cdot 80} $ поступим аналогично: разложим подкоренные числа на множители.

Разложим число 45: $ 45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 $.

Разложим число 80: $ 80 = 16 \cdot 5 = 4^2 \cdot 5 $.

Подставим разложения в выражение:

$ \sqrt{45 \cdot 80} = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (16 \cdot 5)} $

Сгруппируем множители:

$ \sqrt{9 \cdot 16 \cdot (5 \cdot 5)} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 25} $

Используя свойство корня из произведения, получим:

$ \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60 $

Ответ: 60

в)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{4,9 \cdot 360} $ преобразуем произведение под корнем так, чтобы избавиться от десятичной дроби. Умножим первый множитель на 10, а второй разделим на 10, при этом значение произведения не изменится.

$ 4,9 \cdot 360 = (4,9 \cdot 10) \cdot (360 : 10) = 49 \cdot 36 $

Теперь выражение имеет вид:

$ \sqrt{49 \cdot 36} $

Воспользуемся свойством корня из произведения:

$ \sqrt{49} \cdot \sqrt{36} = 7 \cdot 6 = 42 $

Ответ: 42

г)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{160 \cdot 6,4} $ также преобразуем подкоренное выражение, чтобы избавиться от дроби.

$ 160 \cdot 6,4 = (16 \cdot 10) \cdot 6,4 = 16 \cdot (10 \cdot 6,4) = 16 \cdot 64 $

Подставим полученное произведение в исходное выражение:

$ \sqrt{16 \cdot 64} $

Применим свойство корня из произведения:

$ \sqrt{16} \cdot \sqrt{64} = 4 \cdot 8 = 32 $

Ответ: 32