Номер 372, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Квадратный корень из произведения и дроби. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 372, страница 89.

372. Представьте выражение в виде частного корней:

a) $\sqrt{\frac{2}{7}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$

б) $\sqrt{\frac{3}{10}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

в) $\sqrt{\frac{5}{a}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}}$ при a>0

г) $\sqrt{\frac{b}{3}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{3}}$ при b≥0

Для решения этой задачи используется свойство корня из частного (или дроби). Это свойство гласит, что корень из частного равен частному корней из числителя и знаменателя. Математически это свойство записывается следующей формулой:

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Данная формула верна при условии, что подкоренное выражение в числителе неотрицательно ($a \ge 0$), а подкоренное выражение в знаменателе строго положительно ($b > 0$).

Применим это правило к каждому из представленных выражений.

а) Представим выражение $\sqrt{\frac{2}{7}}$ в виде частного корней.
Здесь числитель $2 > 0$ и знаменатель $7 > 0$, поэтому мы можем применить свойство корня из частного:
$\sqrt{\frac{2}{7}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$

б) Представим выражение $\sqrt{\frac{3}{10}}$ в виде частного корней.
Аналогично предыдущему пункту, так как $3 > 0$ и $10 > 0$:
$\sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

в) Представим выражение $\sqrt{\frac{5}{a}}$ в виде частного корней.
Чтобы выражение имело смысл и можно было применить свойство, необходимо, чтобы знаменатель был строго больше нуля, то есть $a > 0$.
При этом условии:
$\sqrt{\frac{5}{a}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}}$

г) Представим выражение $\sqrt{\frac{b}{3}}$ в виде частного корней.
Чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение в числителе было неотрицательным, то есть $b \ge 0$.
При этом условии:
$\sqrt{\frac{b}{3}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{3}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{3}}$