Страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

312. Имеет ли корни уравнение:

а) x² = 81;

б) x² = 18;

в) x² = 0;

г) x² = –25?

a) $x^2=81$

$x_1=9; x_2=-9$

Ответ: да

б) $x^2=18$

$x_1=\sqrt{18}; x_2=-\sqrt{18}$

Ответ: да

в) $x^2=0; x=0$

Ответ: да

г) $x^2=-25$

Ответ: нет корней

а) Дано уравнение $x^2 = 81$.

Чтобы определить, имеет ли уравнение корни, нужно проанализировать его правую часть. В данном случае это число 81, которое больше нуля. Уравнение вида $x^2 = a$, где $a > 0$, всегда имеет два действительных корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.

Найдем корни, извлекая квадратный корень из 81:

$x_1 = \sqrt{81} = 9$

$x_2 = -\sqrt{81} = -9$

Проверка: $9^2 = 81$ и $(-9)^2 = 81$. Оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: да, имеет два корня: 9 и -9.

б) Дано уравнение $x^2 = 18$.

Правая часть уравнения, число 18, является положительным числом ($18 > 0$). Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Корни этого уравнения равны $x_1 = \sqrt{18}$ и $x_2 = -\sqrt{18}$.

Можно упростить значение корня: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 3\sqrt{2}$ и $x_2 = -3\sqrt{2}$.

Ответ: да, имеет два корня: $3\sqrt{2}$ и $-3\sqrt{2}$.

в) Дано уравнение $x^2 = 0$.

Правая часть уравнения равна нулю. Уравнение вида $x^2 = a$, где $a = 0$, имеет только один корень.

Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это само число 0.

$x = 0$

Ответ: да, имеет один корень: 0.

г) Дано уравнение $x^2 = -25$.

Левая часть уравнения, $x^2$, представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$.

Правая часть уравнения, -25, является отрицательным числом.

Неотрицательное число ($x^2$) не может быть равно отрицательному числу (-25). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет, не имеет действительных корней.

313. Решите уравнение:

а) x² = 36;

б) x² = 0,49;

в) x² = 121;

г) x² = 11;

д) x² = 8;

е) x² = 2,5.

a) $x^2=36$

$$\begin{gathered} x_1=6 \\ {x}_2=-6 \end{gathered}$$

Ответ: -6; 6

б) $x^2=0,49$

$$\begin{gathered} x_1=0,7 \\ {x}_2=-0,7 \end{gathered}$$

Ответ: -0,7 и 0,7

в) $x^2=121$

$$\begin{gathered} x_1=11 \\ {x}_2=-11 \end{gathered}$$

Ответ: -11 и 11

г) $x^2=11$

$$\begin{gathered} x_1=\sqrt{11} \\ {x}_2=-\sqrt{11} \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{11}$ и $\sqrt{11}$

д) $x^2=8$

$$\begin{gathered} x_1=\sqrt{8} \\ {x}_2=-\sqrt{8} \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{8}$ и $\sqrt{8}$

е) $x^2=2,5$

$$\begin{gathered} x_1=\sqrt{2,5} \\ {x}_2=-\sqrt{2,5} \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{2,5}$ и $\sqrt{2,5}$

а) $x^2 = 36$

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $x^2 = a$, где $a \ge 0$. Для его решения необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у такого уравнения всегда два корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{36}$

Квадратный корень из 36 равен 6, так как $6 \cdot 6 = 36$.

Следовательно, решениями уравнения являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.

Ответ: $x = \pm 6$.

б) $x^2 = 0,49$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{0,49}$

Квадратный корень из 0,49 равен 0,7, так как $0,7 \cdot 0,7 = 0,49$.

Следовательно, решениями уравнения являются $x_1 = 0,7$ и $x_2 = -0,7$.

Ответ: $x = \pm 0,7$.

в) $x^2 = 121$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{121}$

Квадратный корень из 121 равен 11, так как $11 \cdot 11 = 121$.

Следовательно, решениями уравнения являются $x_1 = 11$ и $x_2 = -11$.

Ответ: $x = \pm 11$.

г) $x^2 = 11$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{11}$

Число 11 не является точным квадратом целого числа, поэтому его корень — иррациональное число. Ответ следует оставить в виде корня.

Следовательно, решениями уравнения являются $x_1 = \sqrt{11}$ и $x_2 = -\sqrt{11}$.

Ответ: $x = \pm\sqrt{11}$.

д) $x^2 = 8$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{8}$

Выражение под корнем можно упростить, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого представим 8 как произведение $4 \cdot 2$.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Следовательно, решениями уравнения являются $x_1 = 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2\sqrt{2}$.

Ответ: $x = \pm 2\sqrt{2}$.

е) $x^2 = 2,5$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{2,5}$

Корень можно оставить в таком виде или преобразовать, представив 2,5 в виде обыкновенной дроби:

$\sqrt{2,5} = \sqrt{\frac{25}{10}} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Следовательно, решениями уравнения являются $x_1 = \sqrt{2,5}$ и $x_2 = -\sqrt{2,5}$.

Ответ: $x = \pm\sqrt{2,5}$ (или $x = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}$).

314. Решите уравнение и с помощью графика функции y = x² найдите приближённые значения его корней:

а) x² = 3;

б) x² = 5;

в) x² = 4,5;

г) x² = 8,5.

a) $x^2=3$

$$\begin{gathered} x_1=\sqrt{3}\approx 1,7 \\ {x}_2=-\sqrt{3}\approx -1,7 \end{gathered}$$

Ответ: ≈-1,7; ≈1,7

б) $x^2=5$

$$\begin{gathered} x_1=\sqrt{5}\approx 2,2 \\ {x}_2=-\sqrt{5}\approx -2,2 \end{gathered}$$

Ответ: ≈-2,2 и ≈2,2

в) $x^2=4,5$

$$\begin{gathered} x_1=\sqrt{4,5}\approx 2,1 \\ {x}_2=-\sqrt{4,5}\approx -2,1 \end{gathered}$$

Ответ: ≈-2,1 и ≈2,1

г) $x^2=8,5$

$$\begin{gathered} x_1=\sqrt{8,5}\approx 2,9 \\ {x}_2=-\sqrt{8,5}\approx -2,9 \end{gathered}$$

Ответ: ≈-2,9 и ≈2,9

а) $x^2 = 3$

Сначала решим уравнение аналитически. Уравнение вида $x^2 = c$, где $c>0$, имеет два корня: $x = \sqrt{c}$ и $x = -\sqrt{c}$. Для данного уравнения точные корни равны $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Теперь найдем приближенные значения корней с помощью графика функции $y = x^2$. Для этого нужно найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графика параболы $y = x^2$ и горизонтальной прямой $y = 3$.

Построим параболу $y = x^2$. На оси ординат ($y$) найдем значение 3 и проведем через эту точку горизонтальную прямую. Эта прямая пересечет параболу в двух точках, симметричных относительно оси $y$. Опустив перпендикуляры из этих точек на ось абсцисс ($x$), мы можем определить приближенные значения корней. По графику видно, что абсциссы точек пересечения приблизительно равны $1.7$ и $-1.7$.

Проверим: $1.7^2 = 2.89$, что очень близко к 3.

Ответ: $x_1 = \sqrt{3} \approx 1.7$, $x_2 = -\sqrt{3} \approx -1.7$.

б) $x^2 = 5$

Аналитическое решение уравнения дает два корня: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Для нахождения приближенных значений корней графическим методом, построим графики функций $y = x^2$ и $y = 5$. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения этих графиков. На графике параболы $y = x^2$ найдем точки, ордината которых равна 5. Это точки пересечения параболы с горизонтальной прямой $y = 5$.

Из графика видно, что абсциссы этих точек приблизительно равны $2.2$ и $-2.2$.

Проверим: $2.2^2 = 4.84$, что близко к 5.

Ответ: $x_1 = \sqrt{5} \approx 2.2$, $x_2 = -\sqrt{5} \approx -2.2$.

в) $x^2 = 4.5$

Точные корни данного уравнения: $x_1 = \sqrt{4.5}$ и $x_2 = -\sqrt{4.5}$.

Для графического решения найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 4.5$. На оси $y$ отметим значение 4.5 и проведем через него горизонтальную прямую. Эта прямая пересечет параболу в двух точках.

Абсциссы этих точек пересечения являются приближенными решениями уравнения. По графику определяем, что $x$ примерно равен $2.1$ и $-2.1$.

Проверим: $2.1^2 = 4.41$, что близко к 4.5.

Ответ: $x_1 = \sqrt{4.5} \approx 2.1$, $x_2 = -\sqrt{4.5} \approx -2.1$.

г) $x^2 = 8.5$

Аналитически, корни уравнения равны $x_1 = \sqrt{8.5}$ и $x_2 = -\sqrt{8.5}$.

Чтобы найти приближенные значения корней, используем график функции $y = x^2$. Корни уравнения $x^2 = 8.5$ — это абсциссы точек пересечения графика параболы $y = x^2$ и прямой $y = 8.5$. Находим на оси ординат значение 8.5 и проводим через него горизонтальную прямую. Находим точки ее пересечения с параболой.

Опуская перпендикуляры на ось абсцисс, находим приближенные значения корней. Они составляют примерно $2.9$ и $-2.9$.

Проверим: $2.9^2 = 8.41$, что близко к 8.5.

Ответ: $x_1 = \sqrt{8.5} \approx 2.9$, $x_2 = -\sqrt{8.5} \approx -2.9$.

315. Решите уравнение:

a) $80+y^2=81$

$$\begin{gathered} y^2=1 \\ {y}_1=1 \\ {y}_2=-1 \end{gathered}$$

Ответ: -1 и 1

б) $19+{с}^2=10$

$$\begin{gathered} {с}^2=10-19 \\ {с}^2=-9 \end{gathered}$$

Ответ: нет корней

в) $20-b^2=-5$

$$\begin{gathered} b^2=20+5 \\ {b}^2=25 \\ {b}_1=5 \\ {b}_2=-5 \end{gathered}$$

Ответ: -5 и 5

г) $3x^2=1,47$

$$\begin{gathered} x^2=1,47:3 \\ {x}^2=0,49 \\ {x}_1=0,7 \\ {x}_2=-0,7 \end{gathered}$$

Ответ: -0,7 и 0,7

д) $\frac{1}{4}{a}^2=10$

$$\begin{gathered} a^2=10:\frac{1}{4} \\ {a}^2=10·4 \\ {a}^2=40 \\ {a}_1=\sqrt{40} \\ {a}_2=-\sqrt{40} \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{40}$ и $\sqrt{40}$

е) $-5y^2=1,8$

$$\begin{gathered} y^2=\frac{1,8}{-5} \\ {y}^2=-0,36 \end{gathered}$$

Ответ: нет корней

а) Дано уравнение $80 + y^2 = 81$.
Чтобы найти $y^2$, вычтем 80 из обеих частей уравнения:
$y^2 = 81 - 80$
$y^2 = 1$
Извлечем квадратный корень из обеих частей. Уравнение имеет два корня, так как $1^2 = 1$ и $(-1)^2 = 1$.
$y = \pm\sqrt{1}$
$y_1 = 1$, $y_2 = -1$.
Ответ: $1; -1$.

б) Дано уравнение $19 + c^2 = 10$.
Чтобы найти $c^2$, вычтем 19 из обеих частей уравнения:
$c^2 = 10 - 19$
$c^2 = -9$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поскольку правая часть уравнения отрицательна, у него нет действительных корней.
Ответ: корней нет.

в) Дано уравнение $20 - b^2 = -5$.
Чтобы найти $-b^2$, вычтем 20 из обеих частей уравнения:
$-b^2 = -5 - 20$
$-b^2 = -25$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$b^2 = 25$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$b = \pm\sqrt{25}$
$b_1 = 5$, $b_2 = -5$.
Ответ: $5; -5$.

г) Дано уравнение $3x^2 = 1,47$.
Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 = \frac{1,47}{3}$
$x^2 = 0,49$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{0,49}$
$x_1 = 0,7$, $x_2 = -0,7$.
Ответ: $0,7; -0,7$.

д) Дано уравнение $\frac{1}{4}a^2 = 10$.
Чтобы найти $a^2$, умножим обе части уравнения на 4:
$a^2 = 10 \cdot 4$
$a^2 = 40$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$a = \pm\sqrt{40}$
Упростим корень: $a = \pm\sqrt{4 \cdot 10} = \pm 2\sqrt{10}$.
$a_1 = 2\sqrt{10}$, $a_2 = -2\sqrt{10}$.
Ответ: $2\sqrt{10}; -2\sqrt{10}$.

е) Дано уравнение $-5y^2 = 1,8$.
Чтобы найти $y^2$, разделим обе части уравнения на -5:
$y^2 = \frac{1,8}{-5}$
$y^2 = -0,36$
Квадрат любого действительного числа ($y^2$) не может быть отрицательным. Так как правая часть уравнения отрицательна, у него нет действительных корней.
Ответ: корней нет.

316. Найдите корни уравнения:

a) $16+x^2=0$

$x^2=-16$

Ответ: нет корней

б) $0,3x^2=0,027$

$$\begin{gathered} x^2=\frac{0,027}{0,3} \\ {x}^2=0,09 \\ {x}_1=0,3 \\ {x}_2=-0,3 \end{gathered}$$

Ответ: -0,3 и 0,3

в) $0,5x^2=30$

$$\begin{gathered} x^2=\frac{30}{0,5} \\ {x}^2=60 \\ {x}_1=\sqrt{60} \\ {x}_2=-\sqrt{60} \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{60}$ и $\sqrt{60}$

г) $-5x^2=\frac{1}{20}$

$$\begin{gathered} x^2=\frac{1}{20}:(-5) \\ {x}^2=-\frac{1}{100} \end{gathered}$$

Ответ: нет корней

д) $x^3-3x=0$

$$\begin{gathered} x(x^2-3)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x^2-3=0\\ & & x^2=3\\ & & x=\sqrt{3}\\ & & x=-\sqrt{3}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: 0; $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$

е) $x^3-11x=0$

$$\begin{gathered} x(x^2-11)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x^2-11=0\\ & & x^2=11\\ & & x=\sqrt{11}\\ & & x=-\sqrt{11}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: 0; $-\sqrt{11}$ и $\sqrt{11}$

а)
Дано уравнение $16 + x^2 = 0$.
Перенесем 16 в правую часть уравнения:
$x^2 = -16$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом. Так как $x^2 \ge 0$, а $-16 < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

б)
Дано уравнение $0,3x^2 = 0,027$.
Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 0,3:
$x^2 = \frac{0,027}{0,3}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель дроби на 1000:
$x^2 = \frac{27}{300}$
Сократим дробь на 3:
$x^2 = \frac{9}{100}$
Или в виде десятичной дроби:
$x^2 = 0,09$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{0,09}$
$x = \pm0,3$
Ответ: $\pm0,3$.

в)
Дано уравнение $0,5x^2 = 30$.
Разделим обе части уравнения на 0,5:
$x^2 = \frac{30}{0,5}$
Деление на 0,5 эквивалентно умножению на 2:
$x^2 = 30 \cdot 2$
$x^2 = 60$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{60}$
Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители:
$x = \pm\sqrt{4 \cdot 15} = \pm\sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = \pm2\sqrt{15}$
Ответ: $\pm2\sqrt{15}$.

г)
Дано уравнение $-5x^2 = \frac{1}{20}$.
Разделим обе части уравнения на -5:
$x^2 = \frac{1}{20 \cdot (-5)}$
$x^2 = -\frac{1}{100}$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $x^2 \ge 0$, а $-\frac{1}{100} < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

д)
Дано уравнение $x^3 - 3x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $x = 0$
2) $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $0; \pm\sqrt{3}$.

е)
Дано уравнение $x^3 - 11x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 11) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $x = 0$
2) $x^2 - 11 = 0 \implies x^2 = 11 \implies x = \pm\sqrt{11}$
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $0; \pm\sqrt{11}$.

317. Решите уравнение:

а) (x – 3)² = 25;

б) (x + 4)² = 9;

в) (x – 6)² = 7;

г) (x + 2)² = 6.

a) ${\left(x-3\right)}^2=25$

$\begin{array}{lcl}x-3=5& \text{и}& x-3=-5\\ x=8& & x=-2\end{array}$

Ответ: -2 и 8

б) ${\left(x+4\right)}^2=9$

$\begin{array}{lcl}x+4=3& \text{и}& x+4=-3\\ x=-1& & x=-7\end{array}$

Ответ: -7 и -1

в) ${\left(x-6\right)}^2=7$

$\begin{array}{lcl}x-6=\sqrt{7}& \text{и}& x-6=-\sqrt{7}\\ x=6+\sqrt{7}& & x=6-\sqrt{7}\end{array}$

Ответ: $6+\sqrt{7}$ и $6-\sqrt{7}$

г) ${\left(x+2\right)}^2=6$

$\begin{array}{ccc}x+2=\sqrt{6}& \text{и}& x+2=-\sqrt{6}\\ x=\sqrt{6}-2& & x=-\sqrt{6}-2\end{array}$

Ответ: $\sqrt{6}-2$ и $-\sqrt{6}-2$

а) Дано уравнение $(x - 3)^2 = 25$.
Чтобы решить это уравнение, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей. Это приведет к двум возможным случаям, так как число, возведенное в квадрат, может быть как положительным, так и отрицательным.
$x - 3 = \pm\sqrt{25}$
$x - 3 = \pm 5$
Получаем два линейных уравнения:
1) $x - 3 = 5$
$x_1 = 5 + 3 = 8$
2) $x - 3 = -5$
$x_2 = -5 + 3 = -2$
Ответ: $x_1 = 8, x_2 = -2$.

б) Дано уравнение $(x + 4)^2 = 9$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x + 4 = \pm\sqrt{9}$
$x + 4 = \pm 3$
Рассматриваем два случая:
1) $x + 4 = 3$
$x_1 = 3 - 4 = -1$
2) $x + 4 = -3$
$x_2 = -3 - 4 = -7$
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -7$.

в) Дано уравнение $(x - 6)^2 = 7$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей. Так как 7 не является точным квадратом, корень останется в иррациональном виде.
$x - 6 = \pm\sqrt{7}$
Это дает нам два решения:
1) $x - 6 = \sqrt{7}$
$x_1 = 6 + \sqrt{7}$
2) $x - 6 = -\sqrt{7}$
$x_2 = 6 - \sqrt{7}$
Ответ: $x_1 = 6 + \sqrt{7}, x_2 = 6 - \sqrt{7}$.

г) Дано уравнение $(x + 2)^2 = 6$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей. Число 6 не является точным квадратом, поэтому корень останется в иррациональном виде.
$x + 2 = \pm\sqrt{6}$
Находим два корня уравнения:
1) $x + 2 = \sqrt{6}$
$x_1 = -2 + \sqrt{6}$
2) $x + 2 = -\sqrt{6}$
$x_2 = -2 - \sqrt{6}$
Ответ: $x_1 = -2 + \sqrt{6}, x_2 = -2 - \sqrt{6}$.

318. Имеет ли смысл выражение 8 - 5x при x = –3,4; 0; 1,2; 1,6; 2,4?

при x=-3,4 $\sqrt{8-5x}=\sqrt{8-5·\left(-3,4\right)}=\sqrt{8+17}=\sqrt{25}=5$ - да

при x=0 $\sqrt{8-5x}=\sqrt{8-5·0}=\sqrt{8}$ - да

при x=1,2 $\sqrt{8-5x}=\sqrt{8-5·1,2}=\sqrt{8-6}=\sqrt{2}$ - да

при x=1,6 $\sqrt{8-5x}=\sqrt{8-5·1,6}=\sqrt{8-8}=\sqrt{0}=0$ - да

при x=2,4 $\sqrt{8-5x}=\sqrt{8-5·2,4}=\sqrt{8-12}=\sqrt{-4}$ - нет

Выражение $\sqrt{8 - 5x}$ имеет смысл в области действительных чисел, если подкоренное выражение является неотрицательным числом, то есть должно выполняться условие:

$8 - 5x \ge 0$

Решим это неравенство относительно $x$:

$-5x \ge -8$

Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-8}{-5}$

$x \le 1,6$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые меньше или равны $1,6$. Теперь проверим каждое заданное значение $x$.

при x = -3,4

Проверяем выполнение условия $x \le 1,6$.

$-3,4 \le 1,6$

Неравенство верное. Значит, при $x = -3,4$ выражение имеет смысл.

Проверка вычислением: $8 - 5 \cdot (-3,4) = 8 + 17 = 25$. $25 \ge 0$.

Ответ: да, имеет смысл.

при x = 0

Проверяем выполнение условия $x \le 1,6$.

$0 \le 1,6$

Неравенство верное. Значит, при $x = 0$ выражение имеет смысл.

Проверка вычислением: $8 - 5 \cdot 0 = 8$. $8 \ge 0$.

Ответ: да, имеет смысл.

при x = 1,2

Проверяем выполнение условия $x \le 1,6$.

$1,2 \le 1,6$

Неравенство верное. Значит, при $x = 1,2$ выражение имеет смысл.

Проверка вычислением: $8 - 5 \cdot 1,2 = 8 - 6 = 2$. $2 \ge 0$.

Ответ: да, имеет смысл.

при x = 1,6

Проверяем выполнение условия $x \le 1,6$.

$1,6 \le 1,6$

Неравенство верное (достигается равенство). Значит, при $x = 1,6$ выражение имеет смысл.

Проверка вычислением: $8 - 5 \cdot 1,6 = 8 - 8 = 0$. $0 \ge 0$.

Ответ: да, имеет смысл.

при x = 2,4

Проверяем выполнение условия $x \le 1,6$.

$2,4 \le 1,6$

Неравенство неверное. Значит, при $x = 2,4$ выражение не имеет смысла.

Проверка вычислением: $8 - 5 \cdot 2,4 = 8 - 12 = -4$. $-4 < 0$.

Ответ: нет, не имеет смысла.

319. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

a) $3\sqrt{a}; a\ge 0$

б) $-5\sqrt{x}; x\ge 0$

в) $\sqrt{8c}; 8c\ge 0; c\ge 0$

г) $\sqrt{-10b}; -10b\ge 0; b\le 0$

Выражение, содержащее квадратный корень, имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение (радиканд) является неотрицательным числом, то есть больше или равно нулю.

а) В выражении $3\sqrt{a}$ подкоренное выражение равно $a$.
Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы выполнялось условие:
$a \ge 0$
Это неравенство и является решением.
Ответ: при $a \ge 0$.

б) В выражении $-5\sqrt{x}$ подкоренное выражение равно $x$. Множитель $-5$ не влияет на область определения корня.
Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы выполнялось условие:
$x \ge 0$
Это неравенство является решением.
Ответ: при $x \ge 0$.

в) В выражении $\sqrt{8c}$ подкоренное выражение равно $8c$.
Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы выполнялось условие:
$8c \ge 0$
Разделим обе части неравенства на положительное число 8. Знак неравенства при этом не изменится.
$c \ge \frac{0}{8}$
$c \ge 0$
Ответ: при $c \ge 0$.

г) В выражении $\sqrt{-10b}$ подкоренное выражение равно $-10b$.
Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы выполнялось условие:
$-10b \ge 0$
Разделим обе части неравенства на отрицательное число -10. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$b \le \frac{0}{-10}$
$b \le 0$
Ответ: при $b \le 0$.