Номер 312, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Уравнение х^2 = а. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 312, страница 76.

312. Имеет ли корни уравнение:

а) x² = 81;

б) x² = 18;

в) x² = 0;

г) x² = –25?

a) $x^2=81$

$x_1=9; x_2=-9$

Ответ: да

б) $x^2=18$

$x_1=\sqrt{18}; x_2=-\sqrt{18}$

Ответ: да

в) $x^2=0; x=0$

Ответ: да

г) $x^2=-25$

Ответ: нет корней

а) Дано уравнение $x^2 = 81$.

Чтобы определить, имеет ли уравнение корни, нужно проанализировать его правую часть. В данном случае это число 81, которое больше нуля. Уравнение вида $x^2 = a$, где $a > 0$, всегда имеет два действительных корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.

Найдем корни, извлекая квадратный корень из 81:

$x_1 = \sqrt{81} = 9$

$x_2 = -\sqrt{81} = -9$

Проверка: $9^2 = 81$ и $(-9)^2 = 81$. Оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: да, имеет два корня: 9 и -9.

б) Дано уравнение $x^2 = 18$.

Правая часть уравнения, число 18, является положительным числом ($18 > 0$). Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Корни этого уравнения равны $x_1 = \sqrt{18}$ и $x_2 = -\sqrt{18}$.

Можно упростить значение корня: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 3\sqrt{2}$ и $x_2 = -3\sqrt{2}$.

Ответ: да, имеет два корня: $3\sqrt{2}$ и $-3\sqrt{2}$.

в) Дано уравнение $x^2 = 0$.

Правая часть уравнения равна нулю. Уравнение вида $x^2 = a$, где $a = 0$, имеет только один корень.

Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это само число 0.

$x = 0$

Ответ: да, имеет один корень: 0.

г) Дано уравнение $x^2 = -25$.

Левая часть уравнения, $x^2$, представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$.

Правая часть уравнения, -25, является отрицательным числом.

Неотрицательное число ($x^2$) не может быть равно отрицательному числу (-25). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет, не имеет действительных корней.