Номер 305, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 305, страница 73.

305. (Для работы в парах.) При каком значении переменной x верно равенство:

1) Обсудите, о каких равенствах можно сразу сказать, что они не являются верными ни при каких значениях x. Исключите их из рассмотрения.

2) Распределите, кто выполняет оставшиеся задания из первой строки, а кто — из второй строки, и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки

a) $\sqrt{x}=11$

$$\begin{gathered} x={11}^2 \\ x=121 \end{gathered}$$

Ответ: при x=121

б) $10\sqrt{x}=3$

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=0,3 \\ x=0,3^2 \\ x=0,09 \end{gathered}$$

Ответ: при x=0,09

в) $\sqrt{x}=-20$

Ответ: ни при каком, т.к. -20<0

г) $2\sqrt{x}-1=0$

$$\begin{gathered} 2\sqrt{x}=1 \\ \sqrt{x}=\frac{1}{2} \\ x=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Ответ: при $x=\frac{1}{4}$

д) $5-\sqrt{x}=0$

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=5 \\ x=25 \end{gathered}$$

Ответ: при x=25

е) $2+\sqrt{x}=0$

$\sqrt{x}=-2$

Ответ: ни при каком, т.к. -2<0

В соответствии с первым пунктом задания, проанализируем, какие из равенств не могут быть верными. По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.

В равенстве в) $\sqrt{x} = -20$ корень приравнивается к отрицательному числу, что противоречит определению.

В равенстве е) $2 + \sqrt{x} = 0$, если выразить корень, получим $\sqrt{x} = -2$. Это также невозможно.

Следовательно, уравнения в) и е) не имеют решений. Теперь решим остальные уравнения.

а) $\sqrt{x} = 11$
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 11^2$
$x = 121$
Проверка: $\sqrt{121} = 11$. Равенство верно.
Ответ: $121$

б) $10\sqrt{x} = 3$
Сначала разделим обе части уравнения на 10, чтобы выразить $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = \frac{3}{10}$
$\sqrt{x} = 0.3$
Теперь возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (0.3)^2$
$x = 0.09$
Проверка: $10\sqrt{0.09} = 10 \times 0.3 = 3$. Равенство верно.
Ответ: $0.09$

в) $\sqrt{x} = -20$
Как было указано ранее, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет

г) $2\sqrt{x} - 1 = 0$
Сначала перенесем -1 в правую часть уравнения:
$2\sqrt{x} = 1$
Теперь разделим обе части на 2:
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{2})^2$
$x = \frac{1}{4}$
Проверка: $2\sqrt{\frac{1}{4}} - 1 = 2 \times \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$. Равенство верно.
Ответ: $\frac{1}{4}$

д) $5 - \sqrt{x} = 0$
Перенесем $\sqrt{x}$ в правую часть уравнения:
$5 = \sqrt{x}$
Возведем обе части в квадрат:
$5^2 = (\sqrt{x})^2$
$25 = x$
Проверка: $5 - \sqrt{25} = 5 - 5 = 0$. Равенство верно.
Ответ: $25$

е) $2 + \sqrt{x} = 0$
Перенесем 2 в правую часть уравнения:
$\sqrt{x} = -2$
Как было указано ранее, это уравнение не имеет решений, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным.
Ответ: решений нет