Номер 306, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 306, страница 74.

306. Найдите значение переменной х, при котором верно равенство:

a) $\sqrt{3+5x}=7$

3+5x=49

5x=49-3

5x=46

x=9,2

Ответ: 9,2

б) $\sqrt{10x-14}=11$

10x-14=121

10x=135

x=13,5

Ответ: 13,5

в) $\sqrt{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}}=0$

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}x-\frac{1}{2}=0 \\ \frac{1}{3}x=\frac{1}{2} \\ x=\frac{1}{2}:\frac{1}{3} \\ x=\frac{1}{2}·\frac{3}{1} \\ x=1,5 \end{gathered}$$

Ответ: 1,5

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{3+5x} = 7$.

Чтобы найти $x$, необходимо избавиться от знака квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат. Это преобразование является равносильным, так как обе части уравнения неотрицательны (арифметический квадратный корень по определению больше или равен нулю, а $7>0$).

$(\sqrt{3+5x})^2 = 7^2$

В левой части корень и возведение в квадрат взаимно уничтожаются:

$3+5x = 49$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем число 3 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$5x = 49 - 3$

$5x = 46$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{46}{5}$

$x = 9.2$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3+5 \cdot 9.2} = \sqrt{3+46} = \sqrt{49} = 7$

Так как $7 = 7$, равенство верное, и решение найдено правильно.

Ответ: $x=9.2$

б)

Дано уравнение $\sqrt{10x-14} = 11$.

Аналогично предыдущему пункту, возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны:

$(\sqrt{10x-14})^2 = 11^2$

$10x-14 = 121$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем -14 в правую часть, изменив знак:

$10x = 121 + 14$

$10x = 135$

Разделим обе части уравнения на 10:

$x = \frac{135}{10}$

$x = 13.5$

Выполним проверку:

$\sqrt{10 \cdot 13.5 - 14} = \sqrt{135 - 14} = \sqrt{121} = 11$

Так как $11 = 11$, равенство верное.

Ответ: $x=13.5$

в)

Дано уравнение $\sqrt{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}} = 0$.

Арифметический квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда выражение под корнем равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно следующему:

$\frac{1}{3}x - \frac{1}{2} = 0$

Решим это линейное уравнение. Перенесем дробь $-\frac{1}{2}$ в правую часть уравнения:

$\frac{1}{3}x = \frac{1}{2}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{1}{2} \cdot 3$

$x = \frac{3}{2}$

$x = 1.5$

Выполним проверку, подставив $x=1.5$ в исходное уравнение:

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot 1.5 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1.5}{3} - \frac{1}{2}} = \sqrt{0.5 - 0.5} = \sqrt{0} = 0$

Так как $0 = 0$, равенство верное.

Ответ: $x=1.5$