Номер 307, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 307, страница 74.

307. Решите уравнение:

a) $\sqrt{3x-1}=1$

$$\begin{gathered} 3x-1=1 \\ 3x=2 \\ x=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) $\sqrt{6x+4}=2$

$$\begin{gathered} 6x+4=4 \\ 6x=0 \\ x=0 \end{gathered}$$

Ответ: 0

в) $\sqrt{12-x}=6$

$$\begin{gathered} 12-x=36 \\ x=12-36 \\ x=-24 \end{gathered}$$

Ответ: -24

г) $\sqrt{8x-1}=1$

$$\begin{gathered} 8x-1=1 \\ 8x=2 \\ x=\frac{2}{8} \\ x=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{1}{4}$

а) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{3x - 1} = 1$.

Для решения такого уравнения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Это называется Областью допустимых значений (ОДЗ).

$3x - 1 \ge 0$

$3x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{3}$

Теперь, чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x - 1})^2 = 1^2$

$3x - 1 = 1$

Решим полученное линейное уравнение:

$3x = 1 + 1$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = \frac{2}{3}$ условию ОДЗ $x \ge \frac{1}{3}$. Так как $\frac{2}{3} \ge \frac{1}{3}$, корень является решением уравнения.

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

б) Дано уравнение $\sqrt{6x + 4} = 2$.

Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$6x + 4 \ge 0$

$6x \ge -4$

$x \ge -\frac{4}{6}$

$x \ge -\frac{2}{3}$

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{6x + 4})^2 = 2^2$

$6x + 4 = 4$

Решим уравнение:

$6x = 4 - 4$

$6x = 0$

$x = 0$

Проверим корень по ОДЗ. Так как $0 \ge -\frac{2}{3}$, найденное значение $x=0$ является решением.

Ответ: $x = 0$.

в) Дано уравнение $\sqrt{12 - x} = 6$.

Определим ОДЗ для данного уравнения:

$12 - x \ge 0$

$12 \ge x$ или $x \le 12$

Возведем в квадрат обе части уравнения:

$(\sqrt{12 - x})^2 = 6^2$

$12 - x = 36$

Решим полученное уравнение:

$-x = 36 - 12$

$-x = 24$

$x = -24$

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ. Условие $x \le 12$ выполняется, так как $-24 \le 12$. Следовательно, решение верно.

Ответ: $x = -24$.

г) Дано уравнение $\sqrt{8x - 1} = 1$.

Найдем ОДЗ, потребовав, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$8x - 1 \ge 0$

$8x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{8}$

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{8x - 1})^2 = 1^2$

$8x - 1 = 1$

Решаем полученное линейное уравнение:

$8x = 1 + 1$

$8x = 2$

$x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Проверим корень на соответствие ОДЗ. Условие $x \ge \frac{1}{8}$ выполняется, так как $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$, и $\frac{2}{8} \ge \frac{1}{8}$. Значит, корень найден правильно.

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.