Номер 300, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 300, страница 73.

300. Какая из точек — А или В — координатной прямой ближе к точке с координатой нуль, если:

a) $A\left(\sqrt{15,21}\right)=A(3,9)$

Расстояние от точки A до точки с координатой нуль равно 3,9

$B(-\sqrt{16})=B(-4)$

Расстояние от точки B до точки с координатой нуль равно 4

3,9<4

Ответ: точка A ближе к точке с координатой нуль

б) $A\left(\sqrt{2\frac{7}{9}}\right)=A\left(\sqrt{\frac{25}{9}}\right)=A\left(\frac{5}{3}\right)=A\left(1\frac{2}{3}\right)$

Расстояние от точки A до точки с координатой нуль равно $1\frac{2}{3}$

$B\left(-\sqrt{1\frac{13}{36}}\right)=B\left(-\sqrt{\frac{49}{36}}\right)=B\left(-\frac{7}{6}\right)=B\left(-1\frac{1}{6}\right)$

Расстояние от точки B до точки с координатой нуль равно $1\frac{1}{6}$

$1\frac{2}{3}=1\frac{4}{6}; 1\frac{4}{6}>1\frac{1}{6}$

Ответ: точка B ближе к точке с координатой нуль

Чтобы определить, какая из точек — А или В — ближе к точке с координатой ноль, необходимо найти расстояние от каждой точки до нуля. Расстояние от точки с координатой $x$ до нуля на координатной прямой равно модулю (абсолютной величине) ее координаты, то есть $|x|$. Та точка, у которой модуль координаты меньше, находится ближе к нулю.

а) $A(\sqrt{15,21}), B(-\sqrt{16})$

Координата точки A: $x_A = \sqrt{15,21}$.
Координата точки B: $x_B = -\sqrt{16}$.

Найдем расстояние от каждой точки до нуля, вычислив модуль их координат:

Расстояние для точки A: $|x_A| = |\sqrt{15,21}| = \sqrt{15,21}$.
Расстояние для точки B: $|x_B| = |-\sqrt{16}| = \sqrt{16}$.

Теперь сравним полученные расстояния. Для сравнения $\sqrt{15,21}$ и $\sqrt{16}$ достаточно сравнить подкоренные выражения. Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним числа $15,21$ и $16$:
$15,21 < 16$.
Следовательно, $\sqrt{15,21} < \sqrt{16}$.

Это означает, что расстояние от точки A до нуля меньше, чем расстояние от точки B до нуля. Значит, точка A находится ближе к точке с координатой ноль.
Для проверки можно также вычислить точные значения: $\sqrt{15,21} = 3,9$ и $\sqrt{16} = 4$. Расстояния равны $|3,9| = 3,9$ и $|-4|=4$. Так как $3,9 < 4$, точка А ближе к нулю.

Ответ: Точка А ближе к нулю.

б) $A(\sqrt{2\frac{7}{9}}), B(-\sqrt{1\frac{13}{36}})$

Координата точки A: $x_A = \sqrt{2\frac{7}{9}}$.
Координата точки B: $x_B = -\sqrt{1\frac{13}{36}}$.

Найдем расстояние от каждой точки до нуля:

Расстояние для точки A: $|x_A| = |\sqrt{2\frac{7}{9}}| = \sqrt{2\frac{7}{9}}$.
Расстояние для точки B: $|x_B| = |-\sqrt{1\frac{13}{36}}| = \sqrt{1\frac{13}{36}}$.

Сравним расстояния $\sqrt{2\frac{7}{9}}$ и $\sqrt{1\frac{13}{36}}$. Для этого сравним подкоренные выражения $2\frac{7}{9}$ и $1\frac{13}{36}$.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18+7}{9} = \frac{25}{9}$.
$1\frac{13}{36} = \frac{1 \cdot 36 + 13}{36} = \frac{36+13}{36} = \frac{49}{36}$.

Теперь сравним дроби $\frac{25}{9}$ и $\frac{49}{36}$. Приведем их к общему знаменателю $36$:
$\frac{25}{9} = \frac{25 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{100}{36}$.
Так как $100 > 49$, то $\frac{100}{36} > \frac{49}{36}$, а значит $2\frac{7}{9} > 1\frac{13}{36}$.

Следовательно, $\sqrt{2\frac{7}{9}} > \sqrt{1\frac{13}{36}}$.
Это означает, что расстояние от точки А до нуля больше, чем расстояние от точки В до нуля. Значит, точка B находится ближе к точке с координатой ноль.
Для проверки можно также вычислить точные значения: $|x_A| = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3} = \frac{10}{6}$ и $|x_B| = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}$. Так как $\frac{10}{6} > \frac{7}{6}$, точка B ближе к нулю.

Ответ: Точка B ближе к нулю.