Номер 299, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 299, страница 73.

299. Приведите контрпример для утверждения:

а) при любом натуральном значения n значение выражения 11 – n является иррациональным числом;

б) при любом натуральном значения n значение выражения 25 – n является иррациональным числом.

a) при n=2 $\sqrt{11-n}=\sqrt{11-2}=\sqrt{9}=3$ - рац. число

б) при n=9 $\sqrt{25-n}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ - рац. число

а) Утверждение гласит, что для любого натурального значения $n$ значение выражения $\sqrt{11-n}$ является иррациональным числом. Чтобы опровергнуть это утверждение, необходимо найти контрпример — такое натуральное число $n$, при котором значение выражения будет рациональным. Выражение $\sqrt{k}$ является рациональным числом, если $k$ — это полный квадрат целого числа ($0, 1, 4, 9, \dots$). Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $11-n \ge 0$, то есть $n \le 11$. Так как $n$ — натуральное число, то $1 \le n \le 11$.
Подберем такое значение $n$, чтобы $11-n$ стало полным квадратом. Например, пусть $11-n = 9$. Решая это уравнение, получаем $n = 11 - 9 = 2$. Число 2 является натуральным и удовлетворяет условию $n \le 11$.
При $n=2$ получаем: $\sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3$. Число 3 — рациональное, что противоречит исходному утверждению. Таким образом, $n=2$ является контрпримером.
Ответ: например, при $n=2$ значение выражения равно $3$, что является рациональным числом.

б) Утверждение гласит, что для любого натурального значения $n$ значение выражения $\sqrt{25-n}$ является иррациональным числом. Аналогично пункту а), ищем контрпример — такое натуральное число $n$, при котором $25-n$ является полным квадратом. Условия для $n$: $n$ — натуральное и $25-n \ge 0$, то есть $1 \le n \le 25$.
Подберем такое значение $n$, чтобы $25-n$ стало полным квадратом. Например, пусть $25-n=16$. Решая это уравнение, получаем $n = 25 - 16 = 9$. Число 9 является натуральным и удовлетворяет условию $n \le 25$.
При $n=9$ получаем: $\sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$. Число 4 — рациональное, что противоречит исходному утверждению. Таким образом, $n=9$ является контрпримером.
Ответ: например, при $n=9$ значение выражения равно $4$, что является рациональным числом.