Номер 292, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 292, страница 72.

292. Вычислите:

a) $\sqrt{900}=30;$

б) $\sqrt{0,01}=0,1;$

в) $\sqrt{0,64}=0,8;$

г) $\sqrt{\frac{121}{64}}=\frac{11}{8}=1\frac{3}{8};$

д) $\sqrt{6\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2,5$

а) Чтобы вычислить $\sqrt{900}$, нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен 900. Можно заметить, что $900 = 9 \cdot 100$. Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$), получаем:
$\sqrt{900} = \sqrt{9 \cdot 100} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{100}$.
Поскольку $3^2 = 9$ и $10^2 = 100$, то $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{100} = 10$.
Следовательно, $\sqrt{900} = 3 \cdot 10 = 30$.
Ответ: 30.

б) Для вычисления $\sqrt{0,01}$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,01 = \frac{1}{100}$.
Теперь применим свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (для $a \ge 0, b > 0$):
$\sqrt{0,01} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}}$.
Мы знаем, что $\sqrt{1} = 1$ и $\sqrt{100} = 10$.
Таким образом, $\sqrt{0,01} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Ответ: 0,1.

в) Для вычисления $\sqrt{0,64}$ также представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,64 = \frac{64}{100}$.
Применяем свойство корня из дроби:
$\sqrt{0,64} = \sqrt{\frac{64}{100}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{100}}$.
Так как $8^2 = 64$ и $10^2 = 100$, то $\sqrt{64} = 8$ и $\sqrt{100} = 10$.
Следовательно, $\sqrt{0,64} = \frac{8}{10} = 0,8$.
Ответ: 0,8.

г) Чтобы вычислить $\sqrt{\frac{121}{64}}$, воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{\frac{121}{64}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{64}}$.
Находим корни из числителя и знаменателя:
$\sqrt{121} = 11$, так как $11^2 = 121$.
$\sqrt{64} = 8$, так как $8^2 = 64$.
Таким образом, $\sqrt{\frac{121}{64}} = \frac{11}{8}$. Эту дробь можно представить в виде смешанного числа $1\frac{3}{8}$ или десятичной дроби $1,375$.
Ответ: $\frac{11}{8}$.

д) Для вычисления корня из смешанного числа $\sqrt{6\frac{1}{4}}$ сначала преобразуем его в неправильную дробь:
$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{24 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.
Теперь вычисляем корень из полученной дроби:
$\sqrt{6\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$.
Находим корни из числителя и знаменателя:
$\sqrt{25} = 5$, так как $5^2 = 25$.
$\sqrt{4} = 2$, так как $2^2 = 4$.
Следовательно, $\sqrt{6\frac{1}{4}} = \frac{5}{2}$. Эту дробь можно представить в виде десятичной дроби $2,5$ или смешанного числа $2\frac{1}{2}$.
Ответ: 2,5.