Номер 285, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Действительные числа. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 285, страница 70.

285. Упростите выражение:

a) $\left(1-\frac{3x^2}{1-x^2}\right):\left(\frac{x}{x+1}+1\right)=\frac{1-2x}{1-x}$

$$\begin{gathered} 1) 1-\frac{3x^2}{1-x^2}=\frac{1-x^2-3x^2}{1-x^2}=\frac{1-4x^2}{1-x^2} \\ 2) \frac{x}{x+1}+1=\frac{x+x+1}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1} \\ 3) \frac{1-4x^2}{1-x^2}:\frac{2x+1}{x+1}=\frac{(1-2x)\left(\bcancel{1+2x}\right)}{(1-x)\left(\bcancel{1+x}\right)}·\frac{\bcancel{x+1}}{\bcancel{2x+1}}= \\ =\frac{1-2x}{1-x} \end{gathered}$$

б) $\left(\frac{a+b}{b}-\frac{a}{a+b}\right):\left(\frac{a+b}{a}-\frac{b}{a+b}\right)=\frac{a}{b}$

$$\begin{gathered} 1) \frac{a+b}{b}-\frac{a}{a+b}=\frac{{(a+b)}^2-ab}{b(a+b)}= \\ =\frac{a^2+2a+b^2-ab}{b(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)} \\ 2) \frac{a+b}{a}-\frac{b}{a+b}=\frac{{(a+b)}^2-ab}{a(a+b)}= \\ =\frac{a^2+2ab+b^2-ab}{a(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)} \\ 3) \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)}:\frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)}· \\ ·\frac{a(a+b)}{a^2+ab+b^2}=\frac{a}{b} \end{gathered}$$

в) $\frac{3a^2-a+3}{a^3-1}-\frac{a-1}{a^2+a+1}+\frac{2}{1-a}=$

$$\begin{gathered} =\frac{3a^2-a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{{(a-1)}^2}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{2}{a-1}= \\ =\frac{3a^2-a+3-(a^2-2a+1)-2a^2-2a-2}{(a-1)(a^2+a+1)}= \\ =\frac{3a^2-a+3-a^2+2a-1-2a^2-2a-2}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{-a}{a^3-1} \end{gathered}$$

г) $\left(\frac{2b}{1-b}-b\right):\frac{3b+3}{b-1}=\frac{2b-b(1-b)}{1-b}·\frac{b-1}{3(b+1)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{2b-b+b^2}{-(b-1)}·\frac{b-1}{3(b+1)}=\frac{b+b^2}{-3(b+1)}= \\ =-\frac{b(1+b)}{3(b+1)}=-\frac{b}{3} \end{gathered}$$

д) $\left(a-x+\frac{x^2}{a+x}\right)·\frac{a-x}{a}=\frac{(a-x)(a+x)+x^2}{a+x}·\frac{a-x}{a}=$

$$\begin{gathered} =\frac{a^2-x^2+x^2}{a+x}·\frac{a-x}{a}=\frac{a^2(a-x)}{(a+x)a}=\frac{a(a-x)}{a+x}= \\ =\frac{a^2-ax}{a+x} \end{gathered}$$

а)

Сначала упростим выражения в каждой из скобок, приводя их к общему знаменателю.

1) $1 - \frac{3x^2}{1-x^2} = \frac{1(1-x^2)}{1-x^2} - \frac{3x^2}{1-x^2} = \frac{1-x^2-3x^2}{1-x^2} = \frac{1-4x^2}{1-x^2}$.

2) $\frac{x}{x+1} + 1 = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x+x+1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$.

Теперь выполним деление полученных выражений. Для этого заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{1-4x^2}{1-x^2} : \frac{2x+1}{x+1} = \frac{(1-2x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)} \cdot \frac{x+1}{2x+1}$.

Сократим общие множители $(1+2x)$ и $(x+1)$.

$\frac{(1-2x)\cancel{(1+2x)}}{(1-x)\cancel{(1+x)}} \cdot \frac{\cancel{x+1}}{\cancel{2x+1}} = \frac{1-2x}{1-x}$.

Ответ: $\frac{1-2x}{1-x}$.

б)

Упростим выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.

1) $\frac{a+b}{b} - \frac{a}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{b(a+b)} - \frac{a \cdot b}{b(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - ab}{b(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2-ab}{b(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)}$.

2) $\frac{a+b}{a} - \frac{b}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a(a+b)} - \frac{b \cdot a}{a(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - ab}{a(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2-ab}{a(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)}$.

Теперь выполним деление. Заменим его умножением на обратную дробь.

$\frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)} : \frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+ab+b^2}$.

Сократим общие множители $(a^2+ab+b^2)$ и $(a+b)$.

$\frac{\cancel{a^2+ab+b^2}}{b\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{a\cancel{(a+b)}}{\cancel{a^2+ab+b^2}} = \frac{a}{b}$.

Ответ: $\frac{a}{b}$.

в)

Для упрощения выражения приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители. Используем формулу разности кубов $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$. Также заметим, что $1-a = -(a-1)$.

$\frac{3a^2-a+3}{a^3-1} - \frac{a-1}{a^2+a+1} + \frac{2}{1-a} = \frac{3a^2-a+3}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{2}{a-1}$.

Общий знаменатель равен $(a-1)(a^2+a+1)$. Приведем к нему все дроби.

$\frac{3a^2-a+3}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{(a-1)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{2(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$.

Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель.

$\frac{(3a^2-a+3) - (a-1)^2 - 2(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{3a^2-a+3 - (a^2-2a+1) - (2a^2+2a+2)}{(a-1)(a^2+a+1)}$.

$\frac{3a^2-a+3 - a^2+2a-1 - 2a^2-2a-2}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{(3a^2-a^2-2a^2) + (-a+2a-2a) + (3-1-2)}{a^3-1} = \frac{0 - a + 0}{a^3-1} = \frac{-a}{a^3-1}$.

Ответ: $\frac{-a}{a^3-1}$.

г)

Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $1-b$.

$\frac{2b}{1-b} - b = \frac{2b - b(1-b)}{1-b} = \frac{2b-b+b^2}{1-b} = \frac{b+b^2}{1-b} = \frac{b(1+b)}{1-b}$.

Теперь выполним деление. Заметим, что $1-b = -(b-1)$ и $3b+3=3(b+1)$.

$\frac{b(1+b)}{1-b} : \frac{3b+3}{b-1} = \frac{b(1+b)}{-(b-1)} \cdot \frac{b-1}{3(b+1)}$.

Сократим общие множители $(b+1)$ и $(b-1)$.

$\frac{b\cancel{(1+b)}}{-\cancel{(b-1)}} \cdot \frac{\cancel{b-1}}{3\cancel{(b+1)}} = \frac{b}{-3} = -\frac{b}{3}$.

Ответ: $-\frac{b}{3}$.

д)

Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $a+x$.

$a - x + \frac{x^2}{a+x} = \frac{(a-x)(a+x)}{a+x} + \frac{x^2}{a+x}$.

Используя формулу разности квадратов $(a-x)(a+x)=a^2-x^2$, сложим дроби.

$\frac{a^2-x^2+x^2}{a+x} = \frac{a^2}{a+x}$.

Теперь выполним умножение.

$\frac{a^2}{a+x} \cdot \frac{a-x}{a}$.

Сократим на $a$.

$\frac{a^{\cancel{2}}}{a+x} \cdot \frac{a-x}{\cancel{a}} = \frac{a(a-x)}{a+x}$.

Ответ: $\frac{a(a-x)}{a+x}$.