Номер 284, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Действительные числа. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 284, страница 69.

284. Известно, что a², b², a – b — рациональные числа и a ≠ b. Каким числом, рациональным или иррациональным, является сумма a + b?

$a^2, b^2, a-b$ - рациональное число, a≠b

$a+b=\frac{a^2-b^2}{a-b}=\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}=a+b$ - рациональное число

По условию задачи известно, что числа $a^2$, $b^2$ и $a-b$ являются рациональными. Также дано, что $a \neq b$.

Рассмотрим выражение $a^2 - b^2$. Поскольку $a^2$ и $b^2$ — рациональные числа, их разность $a^2 - b^2$ также является рациональным числом, так как множество рациональных чисел замкнуто относительно операции вычитания.

Воспользуемся формулой разности квадратов:
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Из этой формулы выразим искомую сумму $a+b$. Так как по условию $a \neq b$, то разность $a-b$ не равна нулю, и мы можем разделить обе части уравнения на $a-b$:
$a+b = \frac{a^2 - b^2}{a-b}$

Проанализируем правую часть полученного равенства. Числитель ($a^2 - b^2$) является рациональным числом, как было показано выше. Знаменатель ($a-b$) является рациональным числом по условию задачи, и он отличен от нуля.

Частное двух рациональных чисел, где делитель не равен нулю, всегда является рациональным числом. Следовательно, сумма $a+b$ является рациональным числом.

Ответ: рациональным числом.