Номер 283, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Действительные числа. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 283, страница 69.

283. Является ли рациональным или иррациональным числом сумма a + b, где a = 1,323223222... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх двоек и т. д., разделяются тройками) и b = 2,313113111... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх единиц и т. д., разделяются тройками)?

a=1,323223222...

b=2,313113111...

$a+b=1,323223222...+2,313113111... 3,636336333...$ - иррациональное число

Для того чтобы определить, является ли сумма $a+b$ рациональным или иррациональным числом, необходимо проанализировать структуру каждого из чисел и их суммы.

Анализ исходных чисел $a$ и $b$

Число $a$ имеет вид $a = 1,323223222...$. Его десятичное представление формируется по следующему правилу: после запятой идут группы двоек, разделенные тройками. Первая группа состоит из одной двойки, вторая — из двух, третья — из трех, и так далее. Поскольку количество двоек в группах постоянно увеличивается, последовательность цифр в дробной части не является периодической. Бесконечная непериодическая десятичная дробь представляет иррациональное число. Следовательно, $a$ — иррациональное число.

Аналогично, число $b$ имеет вид $b = 2,313113111...$. Его десятичное представление устроено так же, как у числа $a$, но вместо групп двоек используются группы единиц. Количество единиц в группах также постоянно растет ($1, 2, 3, ...$), поэтому последовательность цифр в дробной части числа $b$ также не является периодической. Следовательно, $b$ — тоже иррациональное число.

Вычисление суммы $a+b$

Сумма двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным числом. Чтобы определить тип числа $a+b$, найдем его десятичное представление. Выполним сложение столбиком:

$a = 1,3232232223...$
+ $b = 2,3131131113...$

Сумма целых частей равна $1 + 2 = 3$.

Теперь рассмотрим цифры в дробной части. Важно отметить, что при сложении цифр на любой $n$-й позиции после запятой не возникает переноса в старший разряд, так как максимальная возможная сумма цифр равна $3 + 3 = 6$, что меньше 10.

Определим закономерность в цифрах дробной части суммы $c = a+b$.В дробных частях чисел $a$ и $b$ на одних и тех же позициях стоят тройки-разделители. Позиции этих троек можно вычислить. Позиция $k$-й тройки-разделителя равна сумме длин всех предыдущих $k$ блоков (цифра-разделитель + группа цифр). Длина $i$-го блока равна $i+1$. Таким образом, позиция $k$-й тройки равна $\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$.Итак, на позициях $n$, где $n$ является треугольным числом ($1, 3, 6, 10, 15, ...$), цифры в дробной части обоих чисел равны 3.В остальных позициях цифра числа $a$ равна 2, а числа $b$ — 1.

Таким образом, $n$-я цифра $c_n$ суммы $c=a+b$ после запятой определяется так:

• Если $n = \frac{k(k+1)}{2}$ для некоторого натурального $k$, то $c_n = 3 + 3 = 6$.
• В противном случае, $c_n = 2 + 1 = 3$.

Запишем получившееся число $c$:

$c = a + b = 3,636336333633336...$

Анализ полученной суммы

Мы получили десятичное представление суммы $a+b$. В этой записи цифра 6 появляется на позициях, номера которых являются треугольными числами, а все остальные позиции заняты цифрой 3. Последовательность цифр дробной части $6, 3, 6, 3, 3, 6, 3, 3, 3, 6, ...$ не является периодической, так как количество троек между соседними шестерками постоянно увеличивается ($1, 2, 3, ...$).

Число, представленное бесконечной непериодической десятичной дробью, является иррациональным.

Ответ: Сумма $a+b$ является иррациональным числом.