Страница 69 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

274. Сравните числа:

a) 9,835...<9,847...

б) -1,(27)<-1,272

в) 0,06(3)>0,0624

г) $2\frac{1}{7}$>2,142

д) 1,(375)>$1\frac{3}{8}$

е) -3,(16)<$-3\frac{4}{25}$

а) Сравним два положительных числа 9,835... и 9,847... поразрядно, слева направо. Целые части (9) и десятые доли (8) у них одинаковы. Разряд сотых у первого числа равен 3, а у второго — 4. Так как $3 < 4$, то первое число меньше второго. Ответ: $9,835... < 9,847...$

б) Для сравнения двух отрицательных чисел $-1,(27)$ и $-1,272$ сначала сравним их модули (абсолютные величины): $|-1,(27)| = 1,(27)$ и $|-1,272| = 1,272$. Число $1,(27)$ является периодической дробью и равно $1,272727...$. Сравнивая $1,272727...$ и $1,272$, мы видим, что первые три цифры после запятой (2, 7, 2) совпадают. Четвёртая цифра после запятой у первого числа — 7, а у второго — 0 (так как $1,272 = 1,2720$). Поскольку $7 > 0$, то $1,272727... > 1,272$. Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Так как $|-1,(27)| > |-1,272|$, то $-1,(27) < -1,272$. Ответ: $-1,(27) < -1,272$

в) Представим периодическую дробь $0,06(3)$ в развернутом виде: $0,06333...$. Теперь сравним $0,06333...$ и $0,0624$. Десятые и сотые доли у чисел совпадают (0 и 6). В разряде тысячных у первого числа стоит цифра 3, а у второго — 2. Так как $3 > 2$, то и первое число больше второго. Ответ: $0,06(3) > 0,0624$

г) Чтобы сравнить $2\frac{1}{7}$ и $2,142$, переведем дробную часть первого числа в десятичную дробь. Для этого разделим 1 на 7: $1 \div 7 = 0,142857...$. Таким образом, $2\frac{1}{7} = 2,142857...$. Теперь сравним $2,142857...$ и $2,142$. Первые три цифры после запятой (1, 4, 2) совпадают. Четвёртая цифра после запятой у первого числа — 8, а у второго — 0. Так как $8 > 0$, то $2,142857... > 2,142$. Ответ: $2\frac{1}{7} > 2,142$

д) Для сравнения $1,(375)$ и $1\frac{3}{8}$ переведем обыкновенную дробь в десятичную. $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0,375$. Следовательно, $1\frac{3}{8} = 1,375$. Первое число — это периодическая дробь $1,(375) = 1,375375...$. Сравнивая $1,375375...$ и $1,375$, мы видим, что первые четыре знака (1, 3, 7, 5) у них совпадают. Однако у периодической дроби далее следуют цифры 3, 7, 5 и т.д., а у конечной дроби — нули. Поскольку $3 > 0$, то $1,375375... > 1,375$. Ответ: $1,(375) > 1\frac{3}{8}$

е) Сравним два отрицательных числа: $-3,(16)$ и $-3\frac{4}{25}$. Сначала сравним их модули. Модуль первого числа: $|-3,(16)| = 3,(16) = 3,161616...$. Модуль второго числа: $|-3\frac{4}{25}| = 3\frac{4}{25}$. Переведем $3\frac{4}{25}$ в десятичную дробь: $3\frac{4}{25} = 3 + \frac{4 \times 4}{25 \times 4} = 3 + \frac{16}{100} = 3,16$. Теперь сравним $3,161616...$ и $3,16$. В разряде тысячных у первого числа стоит 1, а у второго 0. Так как $1 > 0$, то $3,161616... > 3,16$. Для отрицательных чисел, то число больше, модуль которого меньше. Так как $|-3,(16)| > |-3\frac{4}{25}|$, то $-3,(16) < -3\frac{4}{25}$. Ответ: $-3,(16) < -3\frac{4}{25}$

275. Какая из точек — С или D — координатной прямой ближе к точке М, если:

а) С(4,514), D(–1,9368...), М(1,304);

б) С(–2,4815...), D(11,454), М(4,586).

a) |см| = 4,514-1,304=3,21

|дм| = 1,304+1,9368...=3,2408...

3,21<3,2408...

Ответ: C

б) |дм| = 11,454-4,586=6,868

|см| = 4,586+2,4815...=7,0675...

6,868<7,0675...

Ответ: D

а) Чтобы определить, какая из точек, C или D, находится ближе к точке M, нужно вычислить расстояния от C до M и от D до M, а затем сравнить их. Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. В данном случае имеем точки с координатами $C(4,514)$, $D(-1,9368...)$ и $M(1,304)$.
1. Вычислим расстояние между точками C и M (обозначим его $CM$):
$CM = |1,304 - 4,514| = |-3,21| = 3,21$.
2. Вычислим расстояние между точками D и M (обозначим его $DM$):
$DM = |1,304 - (-1,9368...)| = |1,304 + 1,9368...| = |3,2408...| = 3,2408...$.
3. Сравним полученные расстояния:
$3,21 < 3,2408...$.
Так как расстояние $CM$ меньше расстояния $DM$, точка C находится ближе к точке M.
Ответ: Точка C.

б) Аналогично предыдущему пункту, найдем расстояния для точек с координатами $C(-2,4815...)$, $D(11,454)$ и $M(4,586)$.
1. Вычислим расстояние между точками C и M ($CM$):
$CM = |4,586 - (-2,4815...)| = |4,586 + 2,4815...| = |7,0675...| = 7,0675...$.
2. Вычислим расстояние между точками D и M ($DM$):
$DM = |4,586 - 11,454| = |-6,868| = 6,868$.
3. Сравним полученные расстояния:
$6,868 < 7,0675...$.
Так как расстояние $DM$ меньше расстояния $CM$, точка D находится ближе к точке M.
Ответ: Точка D.

276. Расположите в порядке возрастания числа

4,62; 3,(3); –2,75...; –2,63... .

-2,75...; -2,63...; 3,(3); 4,62

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, нужно сравнить их между собой. В наборе есть два положительных и два отрицательных числа.

Данные числа: $4,62$; $3,(3)$; $-2,75...$; $-2,63...$.

Сравнение чисел производится по следующим шагам: сначала сравниваются отрицательные числа, затем положительные, после чего все числа выстраиваются в единый ряд.

Сравнение отрицательных чисел

Необходимо сравнить $-2,75...$ и $-2,63...$. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.
Вычислим модули чисел:
$|-2,75...| = 2,75...$
$|-2,63...| = 2,63...$
Поскольку $2,75... > 2,63...$, то это означает, что $-2,75... < -2,63...$.

Сравнение положительных чисел

Теперь сравним $4,62$ и $3,(3)$.
Число $3,(3)$ является периодической десятичной дробью и равно $3,333...$.
Сравнивая $4,62$ и $3,333...$, мы видим, что целая часть первого числа ($4$) больше целой части второго числа ($3$).
Следовательно, $3,(3) < 4,62$.

Формирование итогового ряда

Объединим полученные результаты. Сначала идут отрицательные числа в порядке их возрастания, а затем — положительные.
1. Наименьшее число: $-2,75...$
2. Следующее за ним: $-2,63...$
3. Далее идет меньшее из положительных: $3,(3)$
4. Самое большое число: $4,62$
Таким образом, все числа в порядке возрастания образуют следующую последовательность: $-2,75...$; $-2,63...$; $3,(3)$; $4,62$.

Ответ: $-2,75...$; $-2,63...$; $3,(3)$; $4,62$.

277. Расположите в порядке убывания числа

1,371...; 2,065; 2,056...; 1,(37); –0,078... .

2,065; 2,056...; 1,(37); 1,371...; -0,078...

Для того чтобы расположить данные числа в порядке убывания, необходимо их сравнить. В списке представлены следующие числа: $1,371...$; $2,065$; $2,056...$; $1,(37)$; $-0,078...$.

1. В первую очередь выделим отрицательное число $-0,078...$. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому оно будет самым маленьким в данном наборе и займет последнее место в ряду, составленному по убыванию.

2. Теперь сравним положительные числа: $1,371...$; $2,065$; $2,056...$; $1,(37)$. Сравнение будем производить поразрядно, начиная с целой части. Числа $2,065$ и $2,056...$ имеют целую часть 2, а числа $1,371...$ и $1,(37)$ — целую часть 1. Очевидно, что числа, начинающиеся с 2, больше чисел, начинающихся с 1.

3. Сравним между собой числа с целой частью 2: $2,065$ и $2,056...$.Их целые части равны. Первые цифры после запятой (в разряде десятых) также равны 0. Сравним вторые цифры после запятой (в разряде сотых): у числа $2,065$ это 6, а у числа $2,056...$ это 5. Так как $6 > 5$, то $2,065 > 2,056...$. Таким образом, $2,065$ является самым большим числом, а за ним следует $2,056...$.

4. Далее сравним числа с целой частью 1: $1,371...$ и $1,(37)$. Запись $1,(37)$ обозначает бесконечную периодическую дробь $1,373737...$. Сравним поразрядно $1,371...$ и $1,3737...$.Целые части, десятые и сотые доли у них совпадают. Сравним цифры в разряде тысячных: у первого числа это 1, а у второго — 3. Так как $3 > 1$, то $1,(37) > 1,371...$.

5. Объединяя все результаты, получаем итоговую последовательность чисел, расположенных в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему): $2,065$; $2,056...$; $1,(37)$; $1,371...$; $-0,078...$.

Ответ: $2,065$; $2,056...$; $1,(37)$; $1,371...$; $-0,078...$.

278. Какие целые числа расположены между числами:

а) –3,168... и 2,734...;

б) –5,106... и –1,484...;

в) –4,06 и –1,601;

г) –1,29 и 0,11?

a) -3; -2; -1; 0; 1; 2

б) -5; -4; -3; -2

в) -4; -3; -2

г) -1; 0

а) Требуется найти все целые числа $x$, которые расположены между числами $-3,168...$ и $2,734...$. Это означает, что мы ищем целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству: $-3,168... < x < 2,734...$.

Первое целое число, которое больше $-3,168...$ (то есть находится правее на числовой оси), это $-3$.

Последнее целое число, которое меньше $2,734...$ (то есть находится левее на числовой оси), это $2$.

Таким образом, нам нужно перечислить все целые числа от $-3$ до $2$ включительно.

Ответ: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$.

б) Требуется найти все целые числа $x$, расположенные между числами $-5,106...$ и $-1,484...$. Это соответствует неравенству: $-5,106... < x < -1,484...$.

Первое целое число, которое больше $-5,106...$, это $-5$.

Последнее целое число, которое меньше $-1,484...$, это $-2$.

Следовательно, мы ищем все целые числа от $-5$ до $-2$ включительно.

Ответ: $-5, -4, -3, -2$.

в) Требуется найти все целые числа $x$, расположенные между числами $-4,06$ и $-1,601$. Это соответствует неравенству: $-4,06 < x < -1,601$.

Первое целое число, которое больше $-4,06$, это $-4$.

Последнее целое число, которое меньше $-1,601$, это $-2$.

Таким образом, искомые целые числа — это все целые от $-4$ до $-2$ включительно.

Ответ: $-4, -3, -2$.

г) Требуется найти все целые числа $x$, расположенные между числами $-1,29$ и $0,11$. Это соответствует неравенству: $-1,29 < x < 0,11$.

Первое целое число, которое больше $-1,29$, это $-1$.

Последнее целое число, которое меньше $0,11$, это $0$.

Следовательно, искомые целые числа — это $-1$ и $0$.

Ответ: $-1, 0$.

279. Найдите приближённое значение выражения a + b, где a = 1,0539... и b = 2,0610..., округлив предварительно а и b:

а) до десятых;

б) до сотых;

в) до тысячных.

a=1,0539...; b=2,0610...

a) 1,0539... ≈1,1

2,0610...≈2,1

a+b=1,1+2,1=3,2

б) 1,0539... ≈1,05

2,0610...≈2,06

a+b=1,05+2,06=3,11

в) 1,0539... ≈1,054

2,0610...≈2,061

a+b=1,054+2,061=3,115

а) до десятых;
Чтобы найти приближенное значение выражения, сначала необходимо округлить числа $a$ и $b$ до десятых.
Округляем $a = 1,0539...$. Цифра в разряде десятых – 0, следующая за ней цифра – 5. Согласно правилу округления, если следующая цифра 5 или больше, то предыдущую увеличиваем на 1.
$a \approx 1,1$
Округляем $b = 2,0610...$. Цифра в разряде десятых – 0, следующая за ней цифра – 6. Так как $6 \ge 5$, увеличиваем разряд десятых на 1.
$b \approx 2,1$
Теперь выполним сложение округленных значений:
$a + b \approx 1,1 + 2,1 = 3,2$
Ответ: 3,2

б) до сотых;
Сначала округлим числа $a$ и $b$ до сотых.
Округляем $a = 1,0539...$. Цифра в разряде сотых – 5, следующая за ней цифра – 3. Так как $3 < 5$, разряд сотых оставляем без изменений.
$a \approx 1,05$
Округляем $b = 2,0610...$. Цифра в разряде сотых – 6, следующая за ней цифра – 1. Так как $1 < 5$, разряд сотых оставляем без изменений.
$b \approx 2,06$
Теперь выполним сложение округленных значений:
$a + b \approx 1,05 + 2,06 = 3,11$
Ответ: 3,11

в) до тысячных.
Сначала округлим числа $a$ и $b$ до тысячных.
Округляем $a = 1,0539...$. Цифра в разряде тысячных – 3, следующая за ней цифра – 9. Так как $9 \ge 5$, увеличиваем разряд тысячных на 1.
$a \approx 1,054$
Округляем $b = 2,0610...$. Цифра в разряде тысячных – 1, следующая за ней цифра – 0. Так как $0 < 5$, разряд тысячных оставляем без изменений.
$b \approx 2,061$
Теперь выполним сложение округленных значений:
$a + b \approx 1,054 + 2,061 = 3,115$
Ответ: 3,115

280. Найдите приближённое значение выражения a – b, где a = 59,678... и b = 43,123..., округлив предварительно a и b:

а) до десятых;

б) до сотых.

a=59,678...; b=43,123...

a) 59,678...≈59,7

43,123...≈43,1

a-b=59,7-43,1=16,6

б) 59,678...≈59,68

43,123...≈43,12

a-b=59,68-43,12=16,56

Чтобы найти приближенное значение выражения $a - b$, сначала необходимо округлить числа $a = 59,678...$ и $b = 43,123...$ до указанного разряда.

а) до десятых:

1. Округлим число $a = 59,678...$ до десятых. Смотрим на цифру в разряде сотых (7). Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде десятых (6) увеличиваем на единицу.
$a \approx 59,7$.

2. Округлим число $b = 43,123...$ до десятых. Смотрим на цифру в разряде сотых (2). Так как $2 < 5$, то цифру в разряde десятых (1) оставляем без изменений.
$b \approx 43,1$.

3. Найдем разность полученных приближенных значений:
$a - b \approx 59,7 - 43,1 = 16,6$.

Ответ: 16,6.

б) до сотых:

1. Округлим число $a = 59,678...$ до сотых. Смотрим на цифру в разряде тысячных (8). Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде сотых (7) увеличиваем на единицу.
$a \approx 59,68$.

2. Округлим число $b = 43,123...$ до сотых. Смотрим на цифру в разряде тысячных (3). Так как $3 < 5$, то цифру в разряде сотых (2) оставляем без изменений.
$b \approx 43,12$.

3. Найдем разность полученных приближенных значений:
$a - b \approx 59,68 - 43,12 = 16,56$.

Ответ: 16,56.

281. Найдите приближённое значение длины окружности, радиус которой равен 4,5 см (число π округлите до сотых).

R=4,5 см

$С=2\pi R\approx 2·3,14·4,5=28,26 \left(\text{см}\right)$

Для того чтобы найти длину окружности, используется формула:

$C = 2 \pi r$

где $C$ – это длина окружности, $r$ – это ее радиус, а $\pi$ – это математическая константа.

Согласно условию задачи, нам даны следующие значения:

• Радиус окружности $r = 4,5$ см.
• Число $\pi$ нужно округлить до сотых.

Сначала округлим число $\pi$ до сотых (до двух знаков после запятой).

$\pi \approx 3,14159...$

Округляя, получаем $\pi \approx 3,14$.

Теперь подставим известные значения в формулу для вычисления длины окружности:

$C \approx 2 \times 3,14 \times 4,5$

Выполним вычисление по шагам:

1. Умножим 2 на 4,5:

$2 \times 4,5 = 9$

2. Теперь умножим полученный результат на приближенное значение $\pi$:

$C \approx 9 \times 3,14$

$9 \times 3,14 = 28,26$

Таким образом, приближенное значение длины окружности составляет 28,26 см.

Ответ: $28,26$ см.

282. Найдите приближённое значение площади круга, радиус которого равен 10 м (число π округлите до сотых).

R=10м

$S=\pi R^2\approx 3,14·{10}^2=3,14·100=314 \left({\text{м}}^2\right)$

Для того чтобы найти приближённое значение площади круга, воспользуемся формулой площади круга: $S = \pi r^2$, где $S$ – это площадь, $r$ – это радиус круга.

В условии задачи даны следующие значения:

• Радиус круга $r = 10$ м.
• Число $\pi$ следует округлить до сотых.

Округлим число $\pi$ до сотых. Известно, что $\pi \approx 3.14159265...$. При округлении до сотых (до второго знака после запятой) мы смотрим на третий знак. Если он 5 или больше, то второй знак увеличивается на единицу. Если меньше 5, то второй знак остаётся без изменений. Третий знак после запятой у числа $\pi$ – это 1, что меньше 5, поэтому оставляем 3.14. Таким образом, $\pi \approx 3.14$.

Теперь подставим значения $r$ и $\pi$ в формулу площади: $S \approx 3.14 \cdot (10 \text{ м})^2$

Выполним вычисления:
Сначала возведём радиус в квадрат: $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$
Теперь умножим полученное значение на приближённое значение $\pi$: $S \approx 3.14 \cdot 100 \text{ м}^2$ $S \approx 314 \text{ м}^2$

Ответ: приближённое значение площади круга равно $314 \text{ м}^2$.

283. Является ли рациональным или иррациональным числом сумма a + b, где a = 1,323223222... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх двоек и т. д., разделяются тройками) и b = 2,313113111... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх единиц и т. д., разделяются тройками)?

a=1,323223222...

b=2,313113111...

$a+b=1,323223222...+2,313113111... 3,636336333...$ - иррациональное число

Для того чтобы определить, является ли сумма $a+b$ рациональным или иррациональным числом, необходимо проанализировать структуру каждого из чисел и их суммы.

Анализ исходных чисел $a$ и $b$

Число $a$ имеет вид $a = 1,323223222...$. Его десятичное представление формируется по следующему правилу: после запятой идут группы двоек, разделенные тройками. Первая группа состоит из одной двойки, вторая — из двух, третья — из трех, и так далее. Поскольку количество двоек в группах постоянно увеличивается, последовательность цифр в дробной части не является периодической. Бесконечная непериодическая десятичная дробь представляет иррациональное число. Следовательно, $a$ — иррациональное число.

Аналогично, число $b$ имеет вид $b = 2,313113111...$. Его десятичное представление устроено так же, как у числа $a$, но вместо групп двоек используются группы единиц. Количество единиц в группах также постоянно растет ($1, 2, 3, ...$), поэтому последовательность цифр в дробной части числа $b$ также не является периодической. Следовательно, $b$ — тоже иррациональное число.

Вычисление суммы $a+b$

Сумма двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным числом. Чтобы определить тип числа $a+b$, найдем его десятичное представление. Выполним сложение столбиком:

$a = 1,3232232223...$
+ $b = 2,3131131113...$

Сумма целых частей равна $1 + 2 = 3$.

Теперь рассмотрим цифры в дробной части. Важно отметить, что при сложении цифр на любой $n$-й позиции после запятой не возникает переноса в старший разряд, так как максимальная возможная сумма цифр равна $3 + 3 = 6$, что меньше 10.

Определим закономерность в цифрах дробной части суммы $c = a+b$.В дробных частях чисел $a$ и $b$ на одних и тех же позициях стоят тройки-разделители. Позиции этих троек можно вычислить. Позиция $k$-й тройки-разделителя равна сумме длин всех предыдущих $k$ блоков (цифра-разделитель + группа цифр). Длина $i$-го блока равна $i+1$. Таким образом, позиция $k$-й тройки равна $\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$.Итак, на позициях $n$, где $n$ является треугольным числом ($1, 3, 6, 10, 15, ...$), цифры в дробной части обоих чисел равны 3.В остальных позициях цифра числа $a$ равна 2, а числа $b$ — 1.

Таким образом, $n$-я цифра $c_n$ суммы $c=a+b$ после запятой определяется так:

• Если $n = \frac{k(k+1)}{2}$ для некоторого натурального $k$, то $c_n = 3 + 3 = 6$.
• В противном случае, $c_n = 2 + 1 = 3$.

Запишем получившееся число $c$:

$c = a + b = 3,636336333633336...$

Анализ полученной суммы

Мы получили десятичное представление суммы $a+b$. В этой записи цифра 6 появляется на позициях, номера которых являются треугольными числами, а все остальные позиции заняты цифрой 3. Последовательность цифр дробной части $6, 3, 6, 3, 3, 6, 3, 3, 3, 6, ...$ не является периодической, так как количество троек между соседними шестерками постоянно увеличивается ($1, 2, 3, ...$).

Число, представленное бесконечной непериодической десятичной дробью, является иррациональным.

Ответ: Сумма $a+b$ является иррациональным числом.

284. Известно, что a², b², a – b — рациональные числа и a ≠ b. Каким числом, рациональным или иррациональным, является сумма a + b?

$a^2, b^2, a-b$ - рациональное число, a≠b

$a+b=\frac{a^2-b^2}{a-b}=\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}=a+b$ - рациональное число

По условию задачи известно, что числа $a^2$, $b^2$ и $a-b$ являются рациональными. Также дано, что $a \neq b$.

Рассмотрим выражение $a^2 - b^2$. Поскольку $a^2$ и $b^2$ — рациональные числа, их разность $a^2 - b^2$ также является рациональным числом, так как множество рациональных чисел замкнуто относительно операции вычитания.

Воспользуемся формулой разности квадратов:
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Из этой формулы выразим искомую сумму $a+b$. Так как по условию $a \neq b$, то разность $a-b$ не равна нулю, и мы можем разделить обе части уравнения на $a-b$:
$a+b = \frac{a^2 - b^2}{a-b}$

Проанализируем правую часть полученного равенства. Числитель ($a^2 - b^2$) является рациональным числом, как было показано выше. Знаменатель ($a-b$) является рациональным числом по условию задачи, и он отличен от нуля.

Частное двух рациональных чисел, где делитель не равен нулю, всегда является рациональным числом. Следовательно, сумма $a+b$ является рациональным числом.

Ответ: рациональным числом.