Номер 274, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Действительные числа. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 274, страница 69.

274. Сравните числа:

a) 9,835...<9,847...

б) -1,(27)<-1,272

в) 0,06(3)>0,0624

г) $2\frac{1}{7}$>2,142

д) 1,(375)>$1\frac{3}{8}$

е) -3,(16)<$-3\frac{4}{25}$

а) Сравним два положительных числа 9,835... и 9,847... поразрядно, слева направо. Целые части (9) и десятые доли (8) у них одинаковы. Разряд сотых у первого числа равен 3, а у второго — 4. Так как $3 < 4$, то первое число меньше второго. Ответ: $9,835... < 9,847...$

б) Для сравнения двух отрицательных чисел $-1,(27)$ и $-1,272$ сначала сравним их модули (абсолютные величины): $|-1,(27)| = 1,(27)$ и $|-1,272| = 1,272$. Число $1,(27)$ является периодической дробью и равно $1,272727...$. Сравнивая $1,272727...$ и $1,272$, мы видим, что первые три цифры после запятой (2, 7, 2) совпадают. Четвёртая цифра после запятой у первого числа — 7, а у второго — 0 (так как $1,272 = 1,2720$). Поскольку $7 > 0$, то $1,272727... > 1,272$. Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Так как $|-1,(27)| > |-1,272|$, то $-1,(27) < -1,272$. Ответ: $-1,(27) < -1,272$

в) Представим периодическую дробь $0,06(3)$ в развернутом виде: $0,06333...$. Теперь сравним $0,06333...$ и $0,0624$. Десятые и сотые доли у чисел совпадают (0 и 6). В разряде тысячных у первого числа стоит цифра 3, а у второго — 2. Так как $3 > 2$, то и первое число больше второго. Ответ: $0,06(3) > 0,0624$

г) Чтобы сравнить $2\frac{1}{7}$ и $2,142$, переведем дробную часть первого числа в десятичную дробь. Для этого разделим 1 на 7: $1 \div 7 = 0,142857...$. Таким образом, $2\frac{1}{7} = 2,142857...$. Теперь сравним $2,142857...$ и $2,142$. Первые три цифры после запятой (1, 4, 2) совпадают. Четвёртая цифра после запятой у первого числа — 8, а у второго — 0. Так как $8 > 0$, то $2,142857... > 2,142$. Ответ: $2\frac{1}{7} > 2,142$

д) Для сравнения $1,(375)$ и $1\frac{3}{8}$ переведем обыкновенную дробь в десятичную. $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0,375$. Следовательно, $1\frac{3}{8} = 1,375$. Первое число — это периодическая дробь $1,(375) = 1,375375...$. Сравнивая $1,375375...$ и $1,375$, мы видим, что первые четыре знака (1, 3, 7, 5) у них совпадают. Однако у периодической дроби далее следуют цифры 3, 7, 5 и т.д., а у конечной дроби — нули. Поскольку $3 > 0$, то $1,375375... > 1,375$. Ответ: $1,(375) > 1\frac{3}{8}$

е) Сравним два отрицательных числа: $-3,(16)$ и $-3\frac{4}{25}$. Сначала сравним их модули. Модуль первого числа: $|-3,(16)| = 3,(16) = 3,161616...$. Модуль второго числа: $|-3\frac{4}{25}| = 3\frac{4}{25}$. Переведем $3\frac{4}{25}$ в десятичную дробь: $3\frac{4}{25} = 3 + \frac{4 \times 4}{25 \times 4} = 3 + \frac{16}{100} = 3,16$. Теперь сравним $3,161616...$ и $3,16$. В разряде тысячных у первого числа стоит 1, а у второго 0. Так как $1 > 0$, то $3,161616... > 3,16$. Для отрицательных чисел, то число больше, модуль которого меньше. Так как $|-3,(16)| > |-3\frac{4}{25}|$, то $-3,(16) < -3\frac{4}{25}$. Ответ: $-3,(16) < -3\frac{4}{25}$