Номер 270, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Действительные числа. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 270, страница 68.

270. Среди чисел 17; 0; 0,25; –2,(3); 0,818118111... (число единиц, разделяющих восьмёрки, каждый раз увеличивается на одну); 4,2(51); 217; π укажите рациональные и иррациональные.

Рациональные: $\frac{1}{7};$ 0; 0,25; -2,(3); 4,2(51); 217

Иррациональные: 0,818118111...; π

Для того чтобы разделить данные числа на рациональные и иррациональные, необходимо вспомнить их определения.

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число (то есть $q \neq 0$). Десятичное представление рационального числа всегда является либо конечной, либо бесконечной периодической дробью.

Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде дроби $\frac{p}{q}$. Его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью.

Рассмотрим каждое из предложенных чисел:

• $\frac{1}{7}$ — это число уже записано в виде обыкновенной дроби, следовательно, оно является рациональным.
• $0$ — это целое число, его можно представить как дробь $\frac{0}{1}$, поэтому оно рациональное.
• $0,25$ — это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $\frac{25}{100}$ или, после сокращения, $\frac{1}{4}$. Это рациональное число.
• $-2,(3)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь ($-2,333...$). Любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной. В данном случае, $-2,(3) = -2\frac{3}{9} = -2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$. Это рациональное число.
• $0,818118111...$ — это бесконечная десятичная дробь. Согласно описанию, количество единиц между восьмёрками постоянно увеличивается ($818$, $118$, $1118$, и так далее). Это означает, что у дроби нет повторяющегося периода. Следовательно, это бесконечная непериодическая дробь, которая представляет иррациональное число.
• $4,2(51)$ — это смешанная периодическая десятичная дробь ($4,2515151...$). Как и любая периодическая дробь, она является представлением рационального числа. Её можно преобразовать в дробь $\frac{4209}{990}$.
• $217$ — это целое число. Любое целое число $n$ является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{n}{1}$. В данном случае, $217 = \frac{217}{1}$.
• $\pi$ (пи) — это известная математическая константа. Доказано, что число $\pi$ является иррациональным. Его десятичное представление бесконечно и непериодично ($3,14159...$).

Сгруппируем числа по категориям.

Рациональные

К рациональным числам из данного списка относятся: $\frac{1}{7}$; $0$; $0,25$; $-2,(3)$; $4,2(51)$; $217$.

Ответ: $\frac{1}{7}$; $0$; $0,25$; $-2,(3)$; $4,2(51)$; $217$.

Иррациональные

К иррациональным числам из данного списка относятся: $0,818118111...$; $\pi$.

Ответ: $0,818118111...$; $\pi$.