Номер 265, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 265, страница 63.

265. При каких значениях k и b гипербола y = kx и прямая y = kx + b проходят через точку:

а) P(2; 1);

б) Q(–2; 3);

в) R(–1; 1)?

$y=\frac{k}{x}; y=kx+b$

a) P(2;1)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{k}{2}=1\\ 2k+b=1\end{array}\left\{\begin{array}{l}k=2\\ 2·2+b=1\end{array}\right.\right.\left\{\begin{array}{l}k=2\\ 4+b=1\end{array}\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=-3\end{array}\right.\right.$

Ответ: k=2; b=3

б) Q(-2;3)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{k}{-2}=3\\ -2k+b=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=-6\\ -2·(-6)+b=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=-6\\ 12+b=3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}k=-6\\ b=3-12\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=-6\\ b=-9\end{array}\right.$

Ответ: k=-6; b=-9

в) R(-1;1)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{k}{-1}=1\\ k·(-1)+b=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ (-1)·(-1)+b=1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ 1+b=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=0\end{array}\right.$

Ответ: k=-1; b=0

а) P(2; 1)
Чтобы гипербола $y = \frac{k}{x}$ и прямая $y = kx + b$ проходили через точку P(2; 1), ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям.
Сначала подставим координаты точки P ($x=2, y=1$) в уравнение гиперболы, чтобы найти значение $k$:
$1 = \frac{k}{2}$
$k = 1 \cdot 2 = 2$
Теперь, зная, что $k=2$, подставим это значение и координаты точки P в уравнение прямой, чтобы найти значение $b$:
$y = kx + b$
$1 = 2 \cdot 2 + b$
$1 = 4 + b$
$b = 1 - 4 = -3$
Ответ: $k=2$, $b=-3$.

б) Q(-2; 3)
Аналогично, подставим координаты точки Q(-2; 3), где $x=-2$ и $y=3$, в уравнение гиперболы:
$3 = \frac{k}{-2}$
$k = 3 \cdot (-2) = -6$
Теперь подставим $k=-6$ и координаты точки Q в уравнение прямой:
$y = kx + b$
$3 = (-6) \cdot (-2) + b$
$3 = 12 + b$
$b = 3 - 12 = -9$
Ответ: $k=-6$, $b=-9$.

в) R(-1; 1)
Подставим координаты точки R(-1; 1), где $x=-1$ и $y=1$, в уравнение гиперболы:
$1 = \frac{k}{-1}$
$k = 1 \cdot (-1) = -1$
Теперь подставим $k=-1$ и координаты точки R в уравнение прямой:
$y = kx + b$
$1 = (-1) \cdot (-1) + b$
$1 = 1 + b$
$b = 1 - 1 = 0$
Ответ: $k=-1$, $b=0$.