Номер 266, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 266, страница 63.

266. Могут ли графики функций y =kx (k ≠ 0) и y = ax + b пересекаться:

а) только в одной точке;

б) только в двух точках;

в) в трёх точках?

$y=\frac{k}{x} (k\ne 0), y=ax+b$

a) Только в одной точке

Ответ: да

б) Только в двух точках

Ответ: да

в) В трёх точках

Ответ: нет

Чтобы определить, в скольких точках могут пересекаться графики функций $y = \frac{k}{x}$ (где $k \neq 0$) и $y = ax + b$, необходимо найти количество действительных решений системы уравнений:$$ \begin{cases} y = \frac{k}{x} \\ y = ax + b \end{cases} $$Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:$$ \frac{k}{x} = ax + b $$Поскольку $x=0$ не входит в область определения функции $y = \frac{k}{x}$, мы можем без потери корней умножить обе части уравнения на $x$ (при $x \neq 0$):$$ k = ax^2 + bx $$Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить уравнение в стандартном виде:$$ ax^2 + bx - k = 0 $$Количество точек пересечения графиков равно количеству различных действительных корней этого уравнения. Проанализируем это уравнение.

Случай 1: $a \neq 0$.
Уравнение является квадратным. Количество его действительных корней определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4(a)(-k) = b^2 + 4ak$.
• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует двум точкам пересечения.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, что соответствует одной точке пересечения (в этом случае прямая является касательной к гиперболе).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и графики не пересекаются.

Случай 2: $a = 0$.
В этом случае линейная функция принимает вид $y = b$, а ее график — это горизонтальная прямая. Уравнение для нахождения точек пересечения упрощается до:$$ \frac{k}{x} = b $$
• Если $b \neq 0$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{k}{b}$. Следовательно, графики пересекаются в одной точке.
• Если $b = 0$, уравнение принимает вид $\frac{k}{x} = 0$. Поскольку по условию $k \neq 0$, это уравнение не имеет решений, и графики не пересекаются.

Основываясь на этом анализе, ответим на поставленные вопросы.

а) только в одной точке;

Да, графики могут пересекаться ровно в одной точке. Это возможно в двух ситуациях:
1. Прямая является касательной к одной из ветвей гиперболы. Это происходит, когда $a \neq 0$ и дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx - k = 0$ равен нулю, то есть $D = b^2 + 4ak = 0$.
Пример: для функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = -x + 2$ ($k=1, a=-1, b=2$) уравнение пересечения $\frac{1}{x} = -x+2$ преобразуется в $x^2 - 2x + 1 = 0$, которое имеет один корень $x=1$. Точка касания — $(1,1)$.
2. Прямая является горизонтальной и не совпадает с осью абсцисс. Это происходит при $a=0$ и $b \neq 0$.
Пример: для функций $y = \frac{2}{x}$ и $y=4$ ($k=2, a=0, b=4$) уравнение $\frac{2}{x} = 4$ имеет один корень $x=0.5$. Точка пересечения — $(0.5, 4)$.

Ответ: Да, могут.

б) только в двух точках;

Да, графики могут пересекаться в двух точках. Это происходит, когда прямая пересекает обе ветви гиперболы, что соответствует случаю, когда $a \neq 0$ и дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx - k = 0$ строго больше нуля: $D = b^2 + 4ak > 0$.
Пример: для функций $y = \frac{1}{x}$ и $y=x$ ($k=1, a=1, b=0$) уравнение $\frac{1}{x} = x$ преобразуется в $x^2=1$, которое имеет два корня: $x_1=1$ и $x_2=-1$. Точки пересечения — $(1,1)$ и $(-1,-1)$.

Ответ: Да, могут.

в) в трёх точках?

Нет, графики не могут пересекаться в трёх точках. Как было показано в общем анализе, задача сводится к решению уравнения $ax^2 + bx - k = 0$.
• Если $a \neq 0$, это квадратное уравнение, которое по основной теореме алгебры имеет не более двух действительных корней.
• Если $a=0$, уравнение становится линейным относительно переменной $x$ (или $1/x$) и имеет не более одного решения.
Следовательно, ни в одном из случаев невозможно получить три решения, а значит, и три точки пересечения.

Ответ: Нет, не могут.